Radicali¶

Radici¶

Radici quadrate¶

Ricordiamo che il quadrato di un numero reale r è il numero che si ottiene moltiplicando r per se stesso. Il quadrato di un numero è sempre un numero non negativo; numeri opposti hanno lo stesso quadrato: $( + 3 ) ^{2 } = 9$ ; $( - 2 ) ^{2 } = + 4$ ; $( - 5 ) ^{2 } = ( + 5 ) ^{2 } = + 25$ .

L’operazione inversa dell’elevamento al quadrato si chiama radice quadrata. La radice quadrata di un numero reale $a$ è allora quel numero che elevato al quadrato, cioè, che moltiplicato per se stesso, dà il numero $a$ .

Osserviamo che non esiste la radice quadrata di un numero negativo, poiché non esiste nessun numero che elevato al quadrato possa dare come risultato un numero negativo.

DEFINIZIONE. Si dice radice quadrata di un numero reale positivo o nullo quel numero reale positivo o nullo che elevato al quadrato dà come risultato il numero dato.

In simboli $\sqrt{a } = b \Leftrightarrow b ^{2 } = a$ dove $a , b \in \mathbb{R} ^{\text{ +} } \cup \left \{ 0 \} \right .$ .

Il simbolo $\sqrt{\text{ None} }$ è il simbolo della radice quadrata; il numero a è detto radicando, il numero b è detto radice quadrata di $a$ .

Dalla definizione $\sqrt{a ^{2 } } = a$ con $a \geq 0$ .

Per esempio $\sqrt{81 } = 9$ perché $9 ^{2 } = 81$ ; $\sqrt{\frac{9 }{64 } } = \frac{3 }{8 }$ perché $\left( \frac{3 }{8 } \right) ^{2 } = \frac{9 }{64 }$ .

Osserva ora che $\sqrt{81 } = \sqrt{( - 9 ) ^{2 } }$ ma non è vero che $\sqrt{( - 9 ) ^{2 } } = - 9$ perché nella definizione di radice quadrata abbiamo imposto che il risultato dell’operazione di radice quadrata sia sempre un numero positivo o nullo.

Per confrontare due numeri reali, osserviamo prima di tutto i segni. Se i segni dei numeri sono discordi, il numero n

Questa osservazione ci induce a porre molta attenzione quando il radicando è un’espressione letterale: in questo caso $\sqrt{a ^{2 } } = a$ non è del tutto corretto poiché a può assumere sia valori positivi sia valori negativi. Scriveremo correttamente $\sqrt{a ^{2 } } = \left\lvert a \right\rvert$ .

Esempi

$\sqrt{4 } = 2$ infatti $2 ^{2 } = 4$

$\sqrt{\frac{9 }{16 } } = \frac{3 }{4 }$ infatti $\left( \frac{3 }{4 } \right) ^{2 } = \frac{9 }{16 }$

$\sqrt{0,01 } = 0,1$ infatti $0,1 ^{2 } = 0,01$

$\sqrt{1 } = 1$ infatti $1 ^{2 } = 1$

$\sqrt{0 } = 0$ infatti $0 ^{2 } = 0$

$\sqrt{- 16 }$ non esiste, radicando negativo.

$\sqrt{11 }$ esiste ma non è un numero intero né razionale, è un numero irrazionale.

$\sqrt{x ^{2 } } = \left\lvert x \right\rvert$ dobbiamo mettere il valore assoluto al risultato perché non conoscendo il segno di x dobbiamo imporre che il risultato sia sicuramente positivo.

$\sqrt{a ^{2 } - 4a + 4 } = \sqrt{( a - 2 ) ^{2 } } = \left\lvert a - 2 \right\rvert$ dobbiamo mettere il valore assoluto perché a-2 può anche essere negativo.

$\sqrt{9 ( x + 1 ) ^{2 } } = 3 \left\lvert x + 1 \right\rvert$

Radici cubiche¶

Definizione: Si dice radice cubica di un numero reale $a$ quel numero che, elevato al cubo, dà come risultato $a$ . In simboli $\sqrt[3 ]{a } = b \Leftrightarrow b ^{3 } = a$ dove $a , b \in \mathbb{R}$ .

Puoi notare che la radice cubica di un numero reale esiste sempre sia per i numeri positivi o nulli, sia per i numeri negativi.

Esempi

$\sqrt[3 ]{- 8 } = - 2$ infatti $\left( - 2 \right) ^{3 } = - 8$

$\sqrt[3 ]{125 } = 5$ infatti $5 ^{3 } = 125$

$\sqrt[3 ]{1 } = 1$ infatti $1 ^{3 } = 1$

$\sqrt[3 ]{0 } = 0$ infatti $0 ^{3 } = 0$

$\sqrt[3 ]{- 1000 } = - 10$ infatti $\left( - 10 \right) ^{3 } = - 1000$

$\sqrt[3 ]{\frac{1 }{8 } } = \frac{1 }{2 }$ infatti $\left( \frac{1 }{2 } \right) ^{3 } = \frac{1 }{8 }$

$\sqrt[3 ]{0,125 } = 0,5$ infatti $( 0,5 ) ^{3 } = 0,125$

$\sqrt[3 ]{x ^{3 } } = x$ per le radici cubiche non si deve mettere il valore assoluto

$\sqrt[3 ]{x ^{3 } + 3x ^{2 } + 3x + 1 } = \sqrt[3 ]{( x + 1 ) ^{3 } } = x + 1$ non si deve mettere il valore assoluto

Osserva che la radice cubica di un numero mantiene sempre lo stesso segno del numero in quanto il cubo di un numero reale conserva sempre il segno della base.

Radici n-esime¶

Oltre alle radici quadrate e cubiche si possono considerare radici di indice qualsiasi. Si parla in generale di radice n-esima per indicare una radice con un qualsiasi indice n.

DEFINIZIONE. Si dice radice n-esima di un numero reale $a$ quel numero $b$ che elevato ad $n$ dà come risultato $a$ .

In simboli $\sqrt[n ]{a } = b \Leftrightarrow b ^{n } = a$ con $n \in \mathbb{N} , n \geq 2$ .

Non si definisce la radice di indice $0$ : la scrittura $\sqrt[0 ]{a }$ è priva di significato.

Alla scrittura $\sqrt[1 ]{a }$ si dà il valore a.

Quando si tratta con le radici n-esime di un numero reale, bisogna fare attenzione se l’indice della radice è pari o dispari. Si presentano infatti i seguenti casi:

se l’indice n è dispari $\sqrt[n ]{a }$ è definita per qualsiasi valore di $a \in R$ , inoltre è negativa se $a < 0$ , positiva se $a > 0$ e nulla se $a = 0$ ;

se l’indice $n$ è pari $\sqrt[n ]{a }$ è definita solo per i valori di $a \geq 0$ e si ha che $\sqrt[n ]{a } \geq 0$ .

Esempi

$\sqrt[4 ]{16 } = 2$ infatti $2 ^{4 } = 16$

$\sqrt[4 ]{- 16 }$ non esiste infatti $( - 2 ) ^{4 } = + 16$

$\sqrt[5 ]{32 } = 2$ infatti $2 ^{5 } = 16$

$\sqrt[4 ]{1 } = 1$ infatti $1 ^{4 } = 1$

$\sqrt[n ]{0 } = 0$

$\sqrt[5 ]{- 1 } = - 1$ infatti $( - 1 ) ^{5 } = - 1$

$\sqrt[4 ]{x ^{4 } } = \left\lvert x \right\rvert$ va messo il valore assoluto perché l’indice della radice è pari

$\sqrt[5 ]{x ^{5 } } = x$ non va messo il valore assoluto perché l’indice della radice è dispari.

Condizioni di esistenza¶

Quando il radicando è un’espressione letterale dobbiamo fare molta attenzione a operare su di esso.

Le condizioni di esistenza, in breve si può scrivere C.E., di un radicale con radicando letterale, sono le condizioni cui devono soddisfare le variabili che compaiono nel radicando affinché la radice abbia significato.

Supponiamo di avere $\sqrt[n ]{A ( x ) }$ con A(x) polinomio nell’indeterminata x, dobbiamo distinguere i seguenti casi:

se n è pari la radice esiste per tutti i valori di x che rendono non negativo il radicando, cioè C.E. $A ( x ) \geq 0$

se n è dispari la radice esiste per qualsiasi valore della variabile x, purché esista il radicando stesso.

Esempi

$\sqrt{x }$ ;tab;C.E. $x \geq 0$ ,

$\sqrt[3 ]{x }$ ;tab;C.E. $\forall x \in \mathbb{R}$

$\sqrt{- x }$ ;tab;C.E. $x \leq 0$

$\sqrt[3 ]{- x }$ ;tab;C.E. $\forall x \in \mathbb{R}$

$\sqrt{x - 1 }$ ;tab;C.E. $x - 1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1$

$\sqrt{a ^{2 } + 1 }$ ;tab;C.E. $\forall a \in \mathbb{R}$ , infatti $a ^{2 }$ è sempre positivo pertanto $a ^{2 } + 1 > 0 \forall a \in \mathbb{R}$

$\sqrt[3 ]{\frac{1 }{x + 1 } }$ ;tab; C.E. La radice cubica è definita per valori sia positivi sia negativi del radicando, tuttavia bisogna comunque porre la condizione che il denominatore della frazione non sia nullo, quindi C.E. $x + 1 \neq 0 \rightarrow x \neq - 1$ .

$\sqrt[4 ]{xy }$ ;tab;C.E $xy \geq 0$

$\sqrt{x } + \sqrt{x + 1 }$ ;tab;C.E. $\sqrt{x }$ esiste per $x \geq 0$ , $\sqrt{x + 1 }$ esiste per $x + 1 \geq 0$ , per individuare le condizioni di esistenza dell’espressione occorre risolvere il sistema $\{ \begin{array}{l } x \geq 0 \\x + 1 \geq 0 \end{array}$ cioè $\{ \begin{array}{l } x \geq 0 \\x \geq - 1 \end{array}$

In definitiva C.E. $x \geq 0$ .

$\sqrt[4 ]{\frac{x - 1 }{x + 1 } }$ ;tab;C.E. $\frac{x - 1 }{x + 1 } \geq 0$ Occorre discutere il segno della frazione

Pertanto C.E. $x < - 1 \vee x \geq 1$

$\sqrt[5 ]{a ^{2 } ( a - 3 ) }$ ;tab;Poiché la radice ha indice dispari non occorre porre alcuna condizione di esistenza.

Potenze a esponente razionale¶

In questo paragrafo ci proponiamo di scrivere la radice n-esima di un numero reale $a \geqslant 0$ sotto forma di potenza di a, vogliamo cioè che sia:

$\sqrt[n ]{a } = a ^{x }$

Caso con esponente positivo¶

Elevando ambo i membri dell’uguaglianza alla potenza $n$ otteniamo:

$\left( \sqrt[n ]{a } \right) ^{n } = \left( a ^{x } \right) ^{n }$ da cui si ottiene $a = a ^{n \cdot x }$

Trattandosi di due potenze con base $a \geqslant 0$ , l’uguaglianza è resa possibile solo se sono uguali gli esponenti. In altre parole, deve essere:

$1 = n \cdot x \rightarrow x = \frac{1 }{n }$

Possiamo quindi scrivere: $\sqrt[n ]{a } = a ^{\frac{1 }{n } }$

Vediamo ora di generalizzare la formula. Sia m un numero intero positivo, possiamo scrivere

$a ^{\frac{m }{n } } = \left( a ^{\frac{1 }{n } } \right) ^{m }$

Pertanto possiamo scrivere che $a ^{\frac{m }{n } } = \left( \sqrt[n ]{a } \right) ^{m }$

Esempi

Calcola $27 ^{\frac{2 }{3 } }$ Si ha che $27 ^{\frac{2 }{3 } } = \left( \sqrt[3 ]{27 } \right) ^{2 } = 3 ^{2 } = 9$

Calcola $25 ^{\frac{3 }{2 } }$ Si ha che $25 ^{\frac{3 }{2 } } = \left( \sqrt[2 ]{25 } \right) ^{3 } = 5 ^{3 } = 125$

Caso con esponente negativo¶

Per definire la potenza ad esponente razionale negativo è necessario imporre la restrizione $a \neq 0$ , infatti risulta:

$a ^{- \frac{m }{n } } = \frac{1 }{a ^{\frac{m }{n } } } = \left( \frac{1 }{a } \right) ^{\frac{m }{n } }$

Esempi

$27 ^{- \frac{2 }{3 } } = \frac{1 }{\left( \sqrt[3 ]{27 } \right) ^{2 } } = \frac{1 }{3 ^{2 } } = \frac{1 }{9 }$

$125 ^{- \frac{2 }{3 } } = \sqrt[3 ]{125 ^{- 2 } } = \sqrt[3 ]{( 5 ^{3 } ) ^{- 2 } } = \sqrt[3 ]{( 5 ^{- 2 } ) ^{3 } } = 5 ^{- 2 } = \frac{1 }{25 }$

$\left( \frac{1 }{8 } \right) ^{- \frac{3 }{2 } } = \sqrt{\left( \frac{1 }{8 } \right) ^{- 3 } } = \sqrt{8 ^{3 } } = \sqrt{( 2 ^{3 } ) ^{3 } } = \sqrt{2 ^{9 } }$

$\left( \frac{1 }{49 } \right) ^{- \frac{1 }{2 } } = ( 49 ) ^{\frac{1 }{2 } } = \sqrt{49 } = 7$

In generale si dà la seguente

DEFINIZIONE. Si dice potenza a esponente razionale $\frac{m }{n }$ di un numero reale positivo $a$ l’espressione: $a ^{\frac{m }{n } } = \sqrt[n ]{a ^{m } } = \left( \sqrt[n ]{a } \right) ^{m }$ con $\frac{m }{n } \in \mathbb{Q}$

Perché abbiamo dovuto imporre la condizione che $a$ sia un numero positivo?

Partiamo dall’espressione $a ^{\frac{1 }{n } }$ con $n \in \mathbb{N} - \left \{ 0 \} \right .$ , se n è dispari la potenza $a ^{\frac{1 }{n } }$ è sempre definita per ogni valore della base $a$ , mentre se è pari $a ^{\frac{1 }{n } }$ è definita solo per $a \geqslant 0$ .

Nel caso generale $a ^{\frac{m }{n } }$ con $\frac{m }{n } \in \mathbb{Q}$ la formula $a ^{\frac{m }{n } } = \left( \sqrt[n ]{a } \right) ^{m }$ è falsa se $a < 0$ .

Infatti facciamo un esempio:

$( - 2 ) ^{\frac{6 }{6 } } = \left\{ ( - 2 ) ^{\frac{1 }{6 } } \right\} ^{6 } = \left( \sqrt[6 ]{- 2 } \right) ^{6 }$ che non è definita nei numeri reali perché non esiste la radice sesta di un numero negativo.

Tuttavia possiamo anche scrivere $( - 2 ) ^{\frac{6 }{6 } } = \left\{ ( - 2 ) ^{6 } \right\} ^{\frac{1 }{6 } } = ( 64 ) ^{\frac{1 }{6 } } = \sqrt[6 ]{64 } = 2$

Arriviamo pertanto a due risultati differenti.

Per estendere la definizione al caso di basi negative sarebbe necessario stabilire un ordine di priorità delle operazioni ma ciò andrebbe contro la proprietà commutativa del prodotto degli esponenti di una potenza di potenza.

Semplificazione delle radici¶

PROPOSIZIONE. Il valore di una radice in $\mathbb{R} ^{+ } \cup \{ 0 \}$ non cambia se moltiplichiamo l’indice della radice e l’esponente del radicando per uno stesso numero intero positivo.

In simboli $\sqrt[n ]{a ^{m } } = \sqrt[nt ]{a ^{mt } }$ con $a \geq 0, m , n , t \in \mathbb{N} - \{ 0 \}$

Esempi

$\sqrt{2 } = \sqrt[4 ]{2 ^{2 } }$ abbiamo moltiplicato per 2 indice della radice ed esponente del radicando.

$\sqrt[3 ]{a } = \sqrt[9 ]{a ^{3 } }$ abbiamo moltiplicato per 3 indice della radice ed esponente del radicando

PROPOSIZIONE. Il valore di una radice in $\mathbb{R} ^{+ } \cup \{ 0 \}$ non cambia se dividiamo l’indice della radice e l’esponente del radicando per un loro divisore comune.In simboli $\sqrt[nt ]{a ^{mt } } = \sqrt[n ]{a ^{m } }$ con $a \geqslant 0$ $m , n , t \in \mathbb{N} - \left \{ 0 \} \right .$

Esempi

$\sqrt[4 ]{2 ^{2 } } = \sqrt{2 }$ abbiamo semplificato per 2 indice della radice ed esponente del radicando.

$\sqrt[10 ]{3 ^{15 } } = \sqrt{3 ^{3 } }$ abbiamo semplificato per 5.

$\sqrt[7 ]{3 ^{9 } }$ non è riducibile perché indice della radice ed esponente non hanno divisori comuni.

$\sqrt[8 ]{2 ^{6 } } = 2 ^{\frac{6 }{8 } } =$ semplificando la frazione dell’esponente $= 2 ^{\frac{3 }{4 } } = \sqrt[4 ]{2 ^{3 } }$

$\sqrt[6 ]{\left( \frac{1 }{5 } \right) ^{- 9 } } = \sqrt[6 ]{5 ^{9 } } = \sqrt[2 ]{5 ^{3 } }$

$\sqrt[4 ]{( - 3 ) ^{2 } } = \sqrt[4 ]{3 ^{2 } } = \sqrt{3 }$

$\sqrt{10 ^{- 4 } }$ semplificando per 2 indice della radice ed esponente del radicando si ha $10 ^{- 2 } = \frac{1 }{100 }$

$\sqrt{30 \cdot 27 \cdot 10 }$ scomponendo in fattori primi otteniamo $\sqrt{30 \cdot 27 \cdot 10 } = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 3 ^{3 } \cdot 2 \cdot 5 } = \sqrt{2 ^{2 } \cdot 3 ^{4 } \cdot 5 ^{2 } }$ osserviamo che tutti gli esponenti del radicando e l’indice della radice hanno un divisore, quindi $\sqrt{2 ^{2 } \cdot 3 ^{4 } \cdot 5 ^{2 } } = 2 \cdot 3 ^{2 } \cdot 5 = 90$

Se il radicando è un’espressione letterale, quindi sia positiva che negativa, dobbiamo scrivere $\sqrt[nt ]{a ^{mt } } = \left \{ \begin{array}{l } \sqrt[n ]{a ^{m } } \text{ se la potenza t che abbiamo semplificato è dispari} \\\sqrt[n ]{\left\lvert a ^{m } \right\rvert } \text{ se t è pari} \end{array}\right .$

Esempi

$\sqrt{4x ^{4 } y ^{2 } a ^{6 } } = \sqrt{2 ^{2 } x ^{4 } y ^{2 } a ^{6 } } = 2x ^{2 } \left\lvert y a ^{3 } \right\rvert$ abbiamo semplificato per 2 sia l’indice della radice che l’esponente del radicando.

$\sqrt[12 ]{a ^{2 } + 2a + 1 } = \sqrt[12 ]{( a + 1 ) ^{2 } } = \sqrt[6 ]{\left\lvert a + 1 \right\rvert }$ Dopo aver riconosciuto che il radicando è il quadrato del binomio, abbiamo semplificato per 2 gli indici.

$\sqrt{x ^{2 } y ^{2 } } = \left\lvert xy \right\rvert$ ; $\sqrt{x ^{2 } + 2xy + y ^{2 } } = \sqrt{( x + y ) ^{2 } } = \left\lvert x + y \right\rvert$ ; $\sqrt{x ^{2 } + y ^{2 } }$ non è semplificabile perché il radicando non può essere espresso sotto forma di potenza.

$\sqrt[6 ]{( x - 1 ) ^{2 } } = \sqrt[3 ]{\left\lvert x - 1 \right\rvert }$

La proprietà invariantiva si può applicare per semplificare i radicali se la base del radicando è positiva o nulla, se fosse negativa si potrebbe perdere la concordanza del segno. Per esempio $\sqrt[10 ]{( - 2 ) ^{6 } } \neq \sqrt[5 ]{( - 2 ) ^{3 } }$ infatti il primo radicando è positivo mentre il secondo è negativo.

Invece $\sqrt[9 ]{( - 2 ) ^{3 } } = \sqrt[3 ]{- 2 }$ perché in questo caso la concordanza del segno è conservata, infatti pur essendo la base negativa, l’esponente resta dispari, conservando il segno della base.

Se il radicando ha base negativa e nella semplificazione il suo esponente passa da pari a dispari è necessario mettere il radicando in valore assoluto: $\sqrt[10 ]{( - 2 ) ^{6 } } = \sqrt[5 ]{\left\lvert - 2 ^{3 } \right\rvert }$ .

Se il radicando è letterale si segue la stessa procedura: ogni volta che studiando il segno del radicando si trova che la base può essere negativa, se l’esponente del radicando passa da pari a dispari, si mette il modulo per garantire la concordanza del segno: $\sqrt[10 ]{x ^{6 } } = \sqrt[5 ]{\left\lvert x ^{3 } \right\rvert }$ C.E: x può assumere qualunque valore reale.

Moltiplicazione e divisione di radici¶

Prima di operare con i radicali letterali, è necessario determinare le condizioni di esistenza: il prodotto di due radicali esiste là dove sono soddisfatte le condizioni di esistenza di tutti i fattori; il quoziente esiste là dove sono soddisfatte le condizioni di esistenza di dividendo e divisore, con il divisore diverso da zero.

Moltiplicazione e divisione di radici con lo stesso radicando¶

Per effettuare la moltiplicazione o la divisione tra radici aventi lo stesso radicando si possono trasformare le radici in forma di potenze con esponente razionale e utilizzare le proprietà delle potenze.

Esempi

$\sqrt[4 ]{6 } \cdot \sqrt[3 ]{6 } = 6 ^{\frac{1 }{4 } } \cdot 6 ^{\frac{1 }{3 } } = 6 ^{\frac{1 }{4 } + \frac{1 }{3 } } = 6 ^{\frac{7 }{12 } } = \sqrt[12 ]{6 ^{7 } }$

$\sqrt[4 ]{6 } \div \sqrt[3 ]{6 } = 6 ^{\frac{1 }{4 } } \div 6 ^{\frac{1 }{3 } } = 6 ^{\frac{1 }{4 } - \frac{1 }{3 } } = 6 ^{- \frac{1 }{12 } } = \frac{1 }{\sqrt[12 ]{6 } }$

Moltiplicazione e divisione di radici con lo stesso indice¶

Il prodotto di due radici che hanno lo stesso indice è una radice che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi:

$\sqrt[n ]{a } \cdot \sqrt[n ]{b } = \sqrt[n ]{ab }$

Allo stesso modo, il quoziente di due radici che hanno lo stesso indice è una radice che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi:

$\sqrt[n ]{a } \div \sqrt[n ]{b } = \sqrt[n ]{a \div b } \rightarrow \frac{\sqrt[n ]{a } }{\sqrt[n ]{b } } = \sqrt[n ]{\frac{a }{b } }$

Anche per rendersi conto di questa proprietà si possono trasformare le radici in potenze ad esponenti razionali e applicare le proprietà delle potenze:

$\sqrt[n ]{a } \cdot \sqrt[n ]{b } = a ^{\frac{1 }{n } } \cdot b ^{\frac{1 }{n } } = ( ab ) ^{\frac{1 }{n } } = \sqrt[n ]{ab } \rightarrow \sqrt[n ]{a } \div \sqrt[n ]{b } = a ^{\frac{1 }{n } } \div b ^{\frac{1 }{n } } = \left( \frac{a }{b } \right) ^{\frac{1 }{n } } = \sqrt[n ]{\frac{a }{b } }$

Esempi

$\sqrt{2 } \cdot \sqrt{3 } = \sqrt{2 \cdot 3 } = \sqrt{6 }$

$\frac{\sqrt[3 ]{9 } }{\sqrt[3 ]{72 } } = \sqrt[3 ]{\frac{9 }{72 } } = \sqrt[3 ]{\frac{1 }{8 } } = \frac{1 }{2 }$

$\sqrt{2a } \cdot \sqrt{\frac{a }{b } } \div \sqrt{\frac{2b }{9 } }$ C.E. $a \geq 0 \wedge b > 0$ $\sqrt{2a } \cdot \sqrt{\frac{a }{b } } \div \sqrt{\frac{2b }{9 } } = \sqrt{2a \cdot \frac{a }{b } \cdot \frac{9 }{2b } } = \sqrt{\frac{9a ^{2 } }{b ^{2 } } } = \frac{3a }{b }$

Moltiplicazione e divisione di radici con indici diversi¶

Per moltiplicare o dividere radici con indici differenti è necessario prima ridurre le radici allo stesso indice, cioè trasformarle in radici equivalenti con lo stesso indice usando la proprietà invariantiva. Dopo aver ottenuto radici con lo stesso indice si applica la regola precedente.

Procedura per ridurre due o più radici allo stesso indice:

scomporre in fattori irriducibili tutti i radicandi;
porre le condizioni di esistenza;
calcolare il minimo comune multiplo tra gli indici delle radici;
per ciascuna radice dividere il m.c.m. per l’indice della radice e moltiplicare il quoziente trovato per l’esponente del radicando.

Esempi

$\sqrt{2 } \cdot \sqrt[3 ]{2 }$ Gli indici delle radici sono 2 e 3, il loro m.c.m. è 6, il primo radicando va elevato a 6:2 cioè 3, mentre il secondo radicando va elevato a 6:3 cioè 2 $\sqrt{2 } \cdot \sqrt[3 ]{2 } = \sqrt[6 ]{2 ^{3 } } \cdot \sqrt[6 ]{2 ^{2 } } = \sqrt[6 ]{2 ^{3 } \cdot 2 ^{2 } } = \sqrt[6 ]{2 ^{5 } }$

$\sqrt[3 ]{\frac{3 }{2 } } \cdot \sqrt[4 ]{\frac{8 }{27 } } \div \sqrt[6 ]{\frac{2 }{3 } }$ Il m.c.m. tra gli indici delle radici è 12. Il primo radicando va elevato a 12:3=4; il secondo radicando va elevato a 12:4=3; il terzo va elevato a 12:6=2. $\sqrt[3 ]{\frac{3 }{2 } } \cdot \sqrt[4 ]{\frac{8 }{27 } } \div \sqrt[6 ]{\frac{2 }{3 } } = \sqrt[12 ]{\frac{3 ^{4 } }{2 ^{4 } } \cdot \frac{8 ^{3 } }{27 ^{3 } } \div \frac{2 ^{2 } }{3 ^{2 } } } = \sqrt[12 ]{\frac{3 ^{4 } }{2 ^{4 } } \cdot \frac{( 2 ^{3 } ) ^{3 } }{( 3 ^{3 } ) ^{3 } } \div \frac{2 ^{2 } }{3 ^{2 } } } = \sqrt[12 ]{\frac{3 ^{4 } }{2 ^{4 } } \cdot \frac{2 ^{9 } }{3 ^{9 } } \div \frac{2 ^{2 } }{3 ^{2 } } } = \sqrt[12 ]{\frac{3 ^{6 } \cdot 2 ^{9 } }{3 ^{9 } \cdot 2 ^{6 } } } = \sqrt[12 ]{\frac{2 ^{3 } }{3 ^{3 } } } = \sqrt[4 ]{\frac{2 }{3 } }$

$\frac{\sqrt[3 ]{x ^{2 } y } \cdot \sqrt{xy } }{\sqrt[6 ]{x ^{2 } y ^{3 } } }$ C.E. $x > 0 \wedge y > 0$ . Il m.c.m. degli indici delle radici è 6, quindi: $\frac{\sqrt[3 ]{x ^{2 } y } \cdot \sqrt{xy } }{\sqrt[6 ]{x ^{2 } y ^{3 } } } = \sqrt[6 ]{\frac{\left( x ^{2 } y \right) ^{2 } \cdot \left( xy \right) ^{3 } }{x ^{2 } y ^{3 } } } = \sqrt[6 ]{\frac{x ^{4 } y ^{2 } x ^{3 } y ^{3 } }{x ^{2 } y ^{3 } } } = \sqrt[6 ]{\frac{x ^{7 } y ^{5 } }{x ^{2 } y ^{3 } } } = \sqrt[6 ]{x ^{5 } y ^{2 } }$

$\sqrt[3 ]{\frac{a x + a }{x ^{2 } + 2 x + 1 } } \cdot \sqrt{\frac{x ^{2 } - 2 x + 1 }{a x - a } }$

Scomponiamo in fattori i radicandi $\sqrt[3 ]{\frac{a ( x + 1 ) }{( x + 1 ) ^{2 } } } \cdot \sqrt{\frac{( x - 1 ) ^{2 } }{a ( x - 1 ) } }$

Poniamo le C.E. $x + 1 \neq 0 \wedge a ( x - 1 ) > 0 \rightarrow x \neq - 1 \wedge ( ( a > 0 \wedge x > 1 ) \vee ( a < 0 \wedge x < 1 ) )$

Semplifichiamo le frazioni di ciascun radicando $\sqrt[3 ]{\frac{a }{x + 1 } } \cdot \sqrt{\frac{x - 1 }{a } }$

Trasformiamo nello stesso indice: il m.c.m. degli indici è 6, quindi $\sqrt[6 ]{\left( \frac{a }{x + 1 } \right) ^{2 } } \cdot \sqrt[6 ]{\left( \frac{x - 1 }{a } \right) ^{3 } } = \sqrt[6 ]{\frac{a ^{2 } }{( x + 1 ) ^{2 } } \cdot \frac{( x - 1 ) ^{3 } }{a ^{3 } } } = \sqrt[6 ]{\frac{( x - 1 ) ^{3 } }{a ( x + 1 ) ^{2 } } }$

$\sqrt[3 ]{\frac{x ^{2 } }{x ^{2 } - 2 x + 1 } } \div \sqrt[4 ]{\frac{x ^{4 } - 2 x ^{2 } + 1 }{x ^{2 } - 1 } }$

Scomponiamo in fattori i radicandi $\sqrt[3 ]{\frac{x ^{2 } }{( x - 1 ) ^{2 } } } \div \sqrt[4 ]{\frac{( x - 1 ) ^{2 } \cdot ( x + 1 ) ^{2 } }{( x + 1 ) ( x - 1 ) } }$

Determiniamo le C.E. $( x - 1 ) ( x + 1 ) > 0$ $x < - 1 \vee x > 1$ . L’operazione che dobbiamo eseguire è una divisione e dunque il divisore deve essere diverso da zero, quindi $x \neq - 1 \wedge x \neq 1$ , comunque già implicite nelle C.E. trovate

Semplifichiamo i radicandi $\sqrt[3 ]{\frac{x ^{2 } }{( x - 1 ) ^{2 } } } \div \sqrt[4 ]{( x - 1 ) \cdot ( x + 1 ) }$

Riduciamo allo stesso indice: il m.c.m. degli indici è 12 $\sqrt[12 ]{\left[ \frac{x ^{2 } }{( x - 1 ) ^{2 } } \right] ^{4 } } \div \sqrt[12 ]{( x - 1 ) ^{3 } \cdot ( x + 1 ) ^{3 } }$

Poniamo sotto la stessa radice $\sqrt[12 ]{\frac{x ^{8 } }{( x - 1 ) ^{8 } } \cdot \frac{1 }{( x - 1 ) ^{3 } \cdot ( x + 1 ) ^{3 } } } = \sqrt[12 ]{\frac{x ^{8 } }{( x - 1 ) ^{11 } \cdot ( x + 1 ) ^{3 } } }$ .

Portare un fattore sotto il segno di radice¶

Per portare un fattore dentro il segno di radice bisogna elevarlo all’indice della radice:

$a \sqrt[n ]{b } = \sqrt[n ]{a ^{n } \cdot b }$ se n pari e $a \geq 0$

$a \sqrt[n ]{b } = - \sqrt[n ]{a ^{n } \cdot b }$ se n pari e $a < 0$

$a \sqrt[n ]{b } = \sqrt[n ]{a ^{n } \cdot b }$ se n dispari

Ricordando che abbiamo posto $\sqrt[1 ]{a } = a$ , portare un fattore sotto radice equivale a svolgere la moltiplicazione tra una radice di indice 1 e una radice di indice qualsiasi.

Esempi

$2 \sqrt[3 ]{5 }$ portare il 2 dentro il segno di radice;tab; $2 \sqrt[3 ]{5 } = \sqrt[3 ]{2 ^{3 } \cdot 5 } = \sqrt[3 ]{40 }$

$2 \cdot \sqrt[3 ]{7 } = \sqrt[3 ]{2 ^{3 } \cdot 7 } = \sqrt[3 ]{56 }$

$3 \cdot \sqrt{\frac{2 }{21 } } = \sqrt{3 ^{2 } \cdot \frac{2 }{21 } } = \sqrt{9 \cdot \frac{2 }{21 } } = \sqrt{\frac{6 }{7 } } .$

$- \frac{1 }{2 } \sqrt{3 }$ lasciamo fuori dalla radice il segno meno $- \frac{1 }{2 } \sqrt{3 } = - \sqrt{\left( \frac{1 }{2 } \right) ^{2 } \cdot 3 } = - \sqrt{\frac{3 }{4 } }$

$- \frac{1 }{3 } \cdot \sqrt{12 } = - \sqrt{\left( \frac{1 }{3 } \right) ^{2 } \cdot 12 } = - \sqrt{\frac{1 }{9 } \cdot 12 } = - \sqrt{\frac{4 }{3 } }$

$( 1 - \sqrt{2 } ) \cdot \sqrt{3 } = - ( \sqrt{2 } - 1 ) \cdot \sqrt{3 } = - \sqrt{( \sqrt{2 } - 1 ) ^{2 } \cdot 3 }$

$- 2 \sqrt[3 ]{5 } = \sqrt[3 ]{( - 2 ) ^{3 } \cdot 5 } = \sqrt[3 ]{- 40 }$

$a \cdot \sqrt[3 ]{b } = \sqrt[3 ]{a ^{3 } b }$ l’indice della radice è dispari pertanto si porta sotto radice senza alcuna condizione.

$( x - 1 ) \cdot \sqrt[3 ]{x } = \sqrt[3 ]{( x - 1 ) ^{3 } \cdot x }$ l’indice della radice è dispari, non sono necessarie condizioni sulla x.

$( x - 2 ) \sqrt{y }$ osserviamo che il radicale esiste per $y \geq 0$ .Per portare dentro il segno di radice il coefficiente (x-2) bisogna fare la distinzione: $( x - 2 ) \sqrt{y } = \{ \begin{array}{l } \sqrt{( x - 2 ) ^{2 } y } \text{ se } x \geq 2 \\- ( 2 - x ) \sqrt{y } = - \sqrt{( 2 - x ) ^{2 } y } \text{ se } x < 2 \end{array}$

$( x - 1 ) \sqrt{x - 2 }$ Il radicale esiste per $x - 2 \geq 0 \rightarrow x \geq 2$ , per questi valori il coefficiente esterno (x-1) è positivo e può essere portato dentro la radice $( x - 1 ) \sqrt{x - 2 } = \sqrt{( x - 1 ) ^{2 } ( x - 2 ) }$ .

$\frac{a - 1 }{a + 3 } \cdot \sqrt{\frac{a + 2 }{( a - 1 ) ^{2 } } }$ Determiniamo le condizioni di esistenza del radicale. Per l’esistenza della frazione $\frac{a + 2 }{( a - 1 ) ^{2 } }$ deve essere $( a - 1 ) ^{2 } \neq 0,$ ovvero $a \neq 1$ . Affinché il radicando sia positivo o nullo, essendo il denominatore sempre positivo (ovviamente per $a \neq 1$ ) è sufficiente che sia $a + 2 \geq 0$ ovvero $a \geq - 2$ . Pertanto le condizioni di esistenza sono $a \geq - 2$ e $a \neq 1$ .Studiamo il segno della frazione algebrica da portare sotto radice. Tale frazione è positiva o nulla per $a < - 3 \vee a \geq 1$ , è negativa per $- 3 < a \leq 1$ .

Se $a > 1$ si ha $\frac{a - 1 }{a + 3 } \cdot \sqrt{\frac{a + 2 }{( a - 1 ) ^{2 } } } = \sqrt{\frac{( a - 1 ) ^{2 } }{( a + 3 ) ^{2 } } \cdot \frac{a + 2 }{( a - 1 ) ^{2 } } } = \sqrt{\frac{a + 2 }{( a + 3 ) ^{2 } } }$

Se $- 2 < a < 1$ il fattore da portare sotto radice è negativo, quindTrasporta dentro la radice i fattori esterni, discutendo i casi letterali

Se $a = - 2$ l’espressione da calcolare vale zero, mentre Il caso $a = 1$ è escluso dalla condizione di esistenza.

Portare uno o più fattori fuori dal segno di radice¶

È possibile portare fuori dal segno di radice quei fattori aventi come esponente un numero che sia maggiore o uguale all’indice della radice. In generale si inizia scomponendo in fattori irriducibili il radicando, ottenendo un radicale del tipo $\sqrt[n ]{a ^{m } }$ con $m \geq n$

I° modo

Si esegue la divisione itera $m \div n$ ottenendo un quoziente $q$ e un resto $r$ . Per la proprietà della divisione si ha $m = n \cdot q + r$ quindi il radicale diventa $\sqrt[n ]{a ^{m } }$ , per le proprietà delle potenze il radicando si trasforma in un prodotto di potenze $\sqrt[n ]{a ^{n \cdot q + r } } = \sqrt[n ]{( a ^{q } ) ^{n } \cdot a ^{r } }$ e per la regola del prodotto di due radici con medesimo indice si ottiene $\sqrt[n ]{a ^{n \cdot q + r } } = \sqrt[n ]{( a ^{q } ) ^{n } \cdot a ^{r } } = \sqrt[n ]{( a ^{q } ) ^{n } } \cdot \sqrt[n ]{a ^{r } } = a ^{q } \cdot \sqrt[n ]{a ^{r } }$ con $r < n$ . Notiamo che nella divisione intera e sotto la radice lo stesso fattore $a$ con l’esponente uguale al resto della divisione.

Esempio

$\sqrt[3 ]{a ^{8 } } = \ldots$ eseguiamo la divisione $8 \div 3$ con $q = 2$ e $r = 2$ , otteniamo $\sqrt[3 ]{a ^{8 } } = a ^{2 } \cdot \sqrt[3 ]{a ^{2 } }$

II° modo

Si può trasformare la potenza del radicando nel prodotto di due potenze con la stessa base; una avente esponente multiplo dell’indice della radice e l’altra avente per esponente la differenza tra l’esponente iniziale e il multiplo trovato.

Esempi

$\sqrt[3 ]{a ^{8 } } = \ldots$ il multiplo di 3 più vicino a 8 è 6 quindi , otteniamo $\sqrt[3 ]{a ^{8 } } = \sqrt[3 ]{a ^{6 } \cdot a ^{2 } } = \sqrt[3 ]{a ^{6 } } \cdot \sqrt[3 ]{a ^{2 } } = a ^{2 } \cdot \sqrt[3 ]{a ^{2 } }$

$\sqrt[3 ]{a ^{5 } } = \sqrt[3 ]{a ^{3 } \cdot a ^{2 } } = \sqrt[3 ]{a ^{3 } } \cdot \sqrt[3 ]{a ^{2 } } = a \sqrt[3 ]{a ^{2 } }$

Quando portiamo fuori dalla radice un termine letterale dobbiamo verificare se l’indice della radice è pari o dispari e se il termine che portiamo fuori è positivo o negativo. In particolare

$\sqrt[n ]{a ^{n } b } = \{ \begin{array}{l } a \sqrt[n ]{b } \text{ se } n \text{ dispari} \\\left\lvert a \right\rvert \sqrt[n ]{b } \text{ se } n \text{ pari} \end{array}$

Esempi

$\sqrt{1200 }$ Si scompone in fattori primi il radicando $1200 = 2 ^{4 } \cdot 5 ^{2 } \cdot 3$ ne segue allora che $\sqrt{1200 } = \sqrt{2 ^{4 } \cdot 5 ^{2 } \cdot 3 } = 2 ^{2 } \cdot 5 \sqrt{3 } = 20 \sqrt{3 }$

$\sqrt{75 } = \sqrt{5 ^{2 } \cdot 3 } = 5 \sqrt{3 }$

$\sqrt{720 } = \sqrt{2 ^{4 } \cdot 3 ^{2 } \cdot 5 } = 2 ^{2 } \cdot 3 \cdot \sqrt{5 } = 12 \sqrt{5 }$

$\sqrt{2a ^{2 } } = \left\lvert a \right\rvert \sqrt{2 }$ bisogna mettere $a$ in valore assoluto perché sotto radice poteva essere sia negativo che positivo, la radice invece deve essere sempre positiva; se $a < 0$ la relazione $\sqrt{2 a ^{2 } } = a \sqrt{2 }$ è errata

$\sqrt[3 ]{a ^{5 } b ^{7 } c d ^{3 } }$ Occorre eseguire le divisioni intere tra gli esponenti e l’indice della radice. Cominciamo da $a ^{5 }$ risulta 5:3 = quoziente 1, resto 2; per $b ^{7 }$ si ha 7:3 = quoziente 2, resto 1; l’esponente di $c$ è minore dell’indice; per $d ^{3 }$ si ha 3:3= quoziente 1, resto 0. In definitiva $\sqrt[3 ]{a ^{5 } b ^{7 } c d ^{3 } } = ab ^{2 } d \sqrt[3 ]{a ^{2 } bc }$ , o anche: $\sqrt[3 ]{a ^{5 } b ^{7 } c d ^{3 } } = \sqrt[3 ]{( a ^{3 } a ^{2 } ) ( b ^{6 } b ) c d ^{3 } } = \sqrt[3 ]{a ^{3 } b ^{6 } d ^{3 } } \cdot \sqrt[3 ]{a ^{2 } b c } = a b ^{2 } d ^{3 } \sqrt[3 ]{a ^{2 } b c }$ . In questo caso non c’è da mettere il valore assoluto perché l’indice della radice è dispari.

$\sqrt[3 ]{\frac{3 ^{3 } x ^{3 } y }{z ^{6 } } }$ $C.E. z \neq 0$ $\sqrt[3 ]{\frac{3 ^{3 } x ^{3 } y }{z ^{6 } } } = 3 \frac{x }{z ^{2 } } \sqrt[3 ]{y }$

$\sqrt[4 ]{4x ^{4 } - 4x ^{5 } }$ Scomponiamo il radicando per poter studiare le condizioni di esistenza del radicale e portare fuori qualche fattore: $\sqrt[4 ]{4x ^{4 } - 4x ^{5 } } = \sqrt[4 ]{4x ^{4 } ( 1 - x ) }$ C.E. $1 - x \geq 0 \rightarrow x \leq 1$ . Pertanto $\sqrt[4 ]{4x ^{4 } - 4x ^{5 } } = \sqrt[4 ]{4x ^{4 } ( 1 - x ) } = \left\lvert x \right\rvert \sqrt[4 ]{4 ( 1 - x ) } = \left \{ \begin{array}{l } x \sqrt[4 ]{4 ( 1 - x ) } \text{ se } 0 \leq x \leq 1 \\- x \sqrt[4 ]{4 ( 1 - x ) } \text{ se } x < 0 \end{array}\right .$

$\sqrt{3 ( a - 1 ) ^{2 } }$ portare fuori dalla radice $\sqrt{3 ( a - 1 ) ^{2 } } = \left\lvert a - 1 \right\rvert \sqrt{3 } = \{ \begin{array}{l } ( a - 1 ) \sqrt{3 } \text{ se } a > 1 \\0 \text{ se } a = 1 \\( 1 - a ) \sqrt{3 } \text{ se } a < 1 \end{array}$

Potenza di radice e radice di radice¶

Potenza di radice¶

Per elevare a potenza una radice si eleva a quella potenza il radicando: $\left( \sqrt[n ]{a } \right) ^{m } = \sqrt[n ]{a ^{m } }$ . Si capisce il perché di questa proprietà trasformando, come negli altri casi, le radici in esponenti con indici frazionari: $\left( \sqrt[n ]{a } \right) ^{m } = \left( a ^{\frac{1 }{n } } \right) ^{m } = a ^{\frac{m }{n } } = \sqrt[n ]{a ^{m } }$

Esempi

$\left( \sqrt{2 } \right) ^{2 } = \sqrt{2 ^{2 } } = 2$

$\left( \sqrt[3 ]{2a b ^{2 } c ^{3 } } \right) ^{2 } = \sqrt[3 ]{4a ^{2 } b ^{4 } c ^{6 } }$

Radice di radice¶

La radice di un’altra radice è uguale a una radice con lo stesso radicando e con indice il prodotto degli indici delle radici: $\sqrt[m ]{\sqrt[n ]{a } } = \sqrt[m \cdot n ]{a }$ . Anche questa proprietà si può spiegare con le proprietà delle potenze trasformando le radici in potenze con esponente frazionario: $\sqrt[m ]{\sqrt[n ]{a } } = \left( a ^{\frac{1 }{n } } \right) ^{\frac{1 }{m } } = a ^{\frac{1 }{mn } } = \sqrt[m \cdot n ]{a }$

Esempi

$\sqrt{\sqrt{2 } } = \sqrt[2 \cdot 2 ]{2 } = \sqrt[4 ]{2 }$

$\sqrt[3 ]{\sqrt[4 ]{2x } } = \sqrt[12 ]{2x }$

Somma di radicali¶

Si dice radicale un’espressione del tipo $a \sqrt[n ]{b }$ con $a$ e $b$ numeri reali, $b \geq 0$ ed $n \in \mathbb{N}$ . Il numero $a$ prende il nome di coefficiente del radicale.

Operare con i radicali è simile al modo di operare con i monomi. Infatti è possibile effettuare somme algebriche soltanto se i radicali hanno lo stesso indice e lo stesso radicando, mentre si possono sempre effettuare moltiplicazioni e divisioni dopo averli ridotti allo stesso indice.

DEFINIZIONE. Due radicali si dicono simili se hanno lo stesso indice e lo stesso radicando.

È possibile effettuare somme algebriche soltanto se i radicali sono simili, si eseguono le somme allo stesso modo in cui si eseguono le somme algebriche dei monomi.

Attenzione l’operazione $\sqrt{2 } + \sqrt{3 } = \sqrt{5 }$ è errata: i radicali addendi non sono simili.

Esempi

$\sqrt{8 } + \sqrt{2 } = \sqrt{2 ^{3 } } + \sqrt{2 } = 2 \sqrt{2 } + \sqrt{2 } = 3 \sqrt{2 }$

$2 \sqrt{45 } - \sqrt{80 } = 2 \sqrt{3 ^{2 } \cdot 5 } - \sqrt{2 ^{4 } \cdot 5 } = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5 } - 2 ^{2 } \sqrt{5 } = 6 \sqrt{5 } - 4 \sqrt{5 } = 2 \sqrt{5 }$ .

$\sqrt{2 } + \sqrt{3 }$ non si può eseguire perché i radicali non sono simili

$\sqrt[3 ]{2 } + \sqrt{2 }$ non si può eseguire perché i radicali non sono simili

$\sqrt{3 } + \sqrt{3 } = 2 \sqrt{3 }$

$2 \sqrt{5 } - \sqrt{5 } = \sqrt{5 }$

$\frac{1 }{2 } \sqrt{7 } - \frac{4 }{3 } \sqrt{7 } = \left( \frac{1 }{2 } - \frac{4 }{3 } \right) \sqrt{7 } = \frac{3 - 8 }{6 } \sqrt{7 } = - \frac{5 }{6 } \sqrt{7 }$

$3 \sqrt{2 } + 2 \sqrt{3 } - 2 \sqrt{2 } + 3 \sqrt{3 } = ( 3 - 2 ) \sqrt{2 } + ( 2 + 3 ) \sqrt{3 } = \sqrt{2 } + 5 \sqrt{3 }$ sommiamo i radicali simili

$2 \sqrt{a } + 3 \sqrt{a } = 5 \sqrt{a }$ C.E. $a \geq 0$

$\sqrt[4 ]{a ^{5 } } + \sqrt[4 ]{a ^{3 } } \cdot \sqrt{a } + \sqrt[4 ]{a ^{6 } } \div \sqrt[4 ]{a } = \sqrt[4 ]{a ^{5 } } + \sqrt[4 ]{a ^{3 } \cdot a ^{2 } } + \sqrt[4 ]{a ^{6 } \div a } = \sqrt[4 ]{a ^{5 } } + \sqrt[4 ]{a ^{5 } } + \sqrt[4 ]{a ^{5 } } = 3 \sqrt[4 ]{a ^{5 } } = 3 \sqrt[4 ]{a ^{4 } \cdot a } = 3 a \sqrt[4 ]{a }$ C.E. $a > 0$

Per semplificare le espressioni che seguono, useremo le procedure di calcolo dei polinomi.

Esempi

$\left( 1 + \sqrt{2 } \right) \cdot \left( 3 \sqrt{2 } - 1 \right) = 1 \cdot 3 \sqrt{2 } - 1 \cdot 1 + \sqrt{2 } \cdot 3 \sqrt{2 } - \sqrt{2 } = 3 \sqrt{2 } - 1 + 3 \sqrt{2 ^{2 } } - \sqrt{2 } =$ $= 3 \sqrt{2 } - 1 + 3 \cdot 2 - \sqrt{2 } = 2 \sqrt{2 } + 5$

$\left( \sqrt{3 } + 1 \right) ^{2 } = ( \sqrt{3 } ) ^{2 } + ( 1 ) ^{2 } + 2 \cdot \sqrt{3 } \cdot 1 = 3 + 1 + 2 \sqrt{3 } = 4 + 2 \sqrt{3 }$

$\left( \sqrt{3 } - \sqrt{2 } \right) ^{2 } = ( \sqrt{3 } ) ^{2 } + ( \sqrt{2 } ) ^{2 } + 2 \cdot \sqrt{3 } \cdot ( - \sqrt{2 } ) = 3 + 2 - 2 \sqrt{6 } = 5 - 2 \sqrt{6 }$

$\left( 3 + \sqrt{2 } + \sqrt{3 } \right) ^{2 } = ( 3 ) ^{2 } + \left( \sqrt{2 } \right) ^{2 } + \left( \sqrt{3 } \right) ^{2 } + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2 } + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3 } + 2 \cdot \sqrt{2 } \cdot \sqrt{3 } = 14 + 6 \sqrt{2 } + 6 \sqrt{3 } + 2 \sqrt{6 }$

$\left( \sqrt{2 } + 4 \right) \cdot \left( 3 - \sqrt{2 } \right) = \sqrt{2 } \cdot 3 + \sqrt{2 } \cdot ( - \sqrt{2 } ) + 4 \cdot 3 + 4 \cdot ( - \sqrt{2 } ) = 3 \sqrt{2 } - 2 + 12 - 4 \sqrt{2 } = 10 - \sqrt{2 }$

$\begin{array}{l } \left( \sqrt{2 } - 3 \right) ^{3 } = \left( \sqrt{2 } \right) ^{3 } + 3 \left( \sqrt{2 } \right) ^{2 } ( - 3 ) + 3 \sqrt{2 } ( - 3 ) ^{2 } + ( - 3 ) ^{3 } = \sqrt{2 ^{3 } } + 3 ( 2 ) ( - 3 ) + 3 ( 9 ) \sqrt{2 } - 27 = \\= 2 \sqrt{2 } - 18 + 27 \sqrt{2 } - 27 = 29 \sqrt{2 } - 45 \end{array}$

Le espressioni con radicali possono essere trasformate in potenze con esponente frazionario per poi applicare le proprietà delle potenze:

Esempi

$\frac{\sqrt{a } \cdot \sqrt[3 ]{a ^{2 } \cdot b } }{\sqrt[6 ]{a ^{5 } \cdot b } } = \frac{a ^{\frac{1 }{2 } } \cdot a ^{\frac{2 }{3 } } \cdot b ^{\frac{1 }{3 } } }{a ^{\frac{5 }{6 } } \cdot b ^{\frac{1 }{6 } } } = a ^{\frac{1 }{2 } + \frac{2 }{3 } - \frac{5 }{6 } } \cdot b ^{\frac{1 }{3 } - \frac{1 }{6 } } = a ^{\frac{2 }{6 } } \cdot b ^{\frac{1 }{6 } } = \sqrt[6 ]{a ^{2 } b }$

$\sqrt{\frac{\sqrt[3 ]{a ^{2 } } \cdot \sqrt{b } }{\sqrt[5 ]{a ^{2 } } } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{\sqrt[4 ]{a ^{6 } b } }{a \sqrt[3 ]{b } } } = \left( \frac{a ^{\frac{2 }{3 } } \cdot b ^{\frac{1 }{2 } } }{a ^{\frac{2 }{5 } } } \right) ^{\frac{1 }{2 } } \left( \frac{a ^{\frac{3 }{2 } } \cdot b ^{\frac{1 }{4 } } }{ab ^{\frac{1 }{3 } } } \right) ^{\frac{1 }{3 } } = \frac{a ^{\frac{1 }{3 } } \cdot b ^{\frac{1 }{4 } } }{a ^{\frac{1 }{5 } } } \cdot \frac{a ^{\frac{1 }{2 } } \cdot b ^{\frac{1 }{12 } } }{a ^{\frac{1 }{3 } } \cdot b ^{\frac{1 }{9 } } } = a ^{\frac{1 }{3 } - \frac{1 }{5 } + \frac{1 }{2 } - \frac{1 }{3 } } \cdot b ^{\frac{1 }{4 } + \frac{1 }{12 } - \frac{1 }{9 } } =$ $= a ^{\frac{3 }{10 } } \cdot b ^{\frac{2 }{9 } } = \sqrt[10 ]{a ^{3 } } \cdot \sqrt[9 ]{b ^{2 } } .$

$\sqrt[6 ]{\frac{x ^{3 } \cdot \sqrt[3 ]{xy ^{2 } } }{x ^{2 } - \sqrt{xy } } } = \left( \frac{x ^{3 } \cdot ( xy ^{2 } ) ^{\frac{1 }{3 } } }{x ^{2 } - ( xy ) ^{\frac{1 }{2 } } } \right) ^{\frac{1 }{6 } } = \left( \frac{x ^{3 } \cdot x ^{\frac{1 }{3 } } \cdot y ^{\frac{2 }{3 } } }{x ^{2 } - x ^{\frac{1 }{2 } } \cdot y ^{\frac{1 }{2 } } } \right) ^{\frac{1 }{6 } } = \left( \frac{x ^{\frac{10 }{3 } } \cdot y ^{\frac{2 }{3 } } }{x ^{\frac{1 }{2 } } \cdot \left( x ^{\frac{3 }{2 } } - y ^{\frac{1 }{2 } } \right) } \right) ^{\frac{1 }{6 } } =$

Razionalizzazione del denominatore di una frazione¶

Nel calcolo di espressioni che contengono radicali può capitare che al denominatore compaiano dei radicali. Per migliorare l’approssimazione si cerca di evitare questa situazione e operare affinché non compaiano radicali al denominatore. Questa operazione prende il nome di razionalizzazione del denominatore.

Razionalizzare il denominatore di una frazione vuol dire trasformare una frazione in una frazione equivalente avente per denominatore un’espressione nella quale non compaiano radici.

I Caso

La frazione è del tipo $\frac{a }{\sqrt{b } }$

Per razionalizzare il denominatore di una frazione di questo tipo basta moltiplicare numeratore e denominatore per $\sqrt{b }$ , che prende il nome di fattore razionalizzante: $\frac{a }{\sqrt{b } } = \frac{a \sqrt{b } }{\sqrt{b } \cdot \sqrt{b } } = \frac{a \sqrt{b } }{b }$

Esempi

$\frac{1 }{\sqrt{2 } } = \frac{1 \cdot \sqrt{2 } }{\sqrt{2 } \cdot \sqrt{2 } } = \frac{\sqrt{2 } }{2 }$

$\frac{3 }{2 \sqrt{3 } } = \frac{3 \sqrt{3 } }{2 \sqrt{3 } \sqrt{3 } } = \frac{3 \sqrt{3 } }{2 \cdot 3 } = \frac{\sqrt{3 } }{2 }$

$\frac{a ^{2 } - 1 }{\sqrt{a - 1 } } = \frac{( a ^{2 } - 1 ) \sqrt{a - 1 } }{\sqrt{a - 1 } \sqrt{a - 1 } } = \frac{( a ^{2 } - 1 ) \sqrt{a - 1 } }{a - 1 } = \frac{( a - 1 ) ( a + 1 ) \sqrt{a - 1 } }{a - 1 } = ( a + 1 ) \sqrt{a - 1 }$

II Caso

La frazione è del tipo $\frac{a }{\sqrt[n ]{b ^{m } } }$ con $n > m$ .

In questo caso il fattore razionalizzante è $\sqrt[n ]{b ^{n - m } }$ . Infatti si ha: $\frac{a }{\sqrt[n ]{b ^{m } } } = \frac{a \sqrt[n ]{b ^{n - m } } }{\sqrt[n ]{b ^{m } } \cdot \sqrt[n ]{b ^{( n - m ) } } } = \frac{a \sqrt[n ]{b ^{n - m } } }{\sqrt[n ]{b ^{m } \cdot b ^{n - m } } } = \frac{a \sqrt[n ]{b ^{n - m } } }{\sqrt[n ]{b ^{n } } } = \frac{a \sqrt[n ]{b ^{n - m } } }{b }$

Se abbiamo un esercizio in cui la potenza del radicando supera l’indice della radice, prima di razionalizzare possiamo portare fuori dalla radice.

Esempi

$\frac{1 }{\sqrt[3 ]{2 } }$ il fattore razionalizzante è $\sqrt[3 ]{2 ^{2 } }$ $\frac{1 }{\sqrt[3 ]{2 } } = \frac{1 \cdot \sqrt[3 ]{2 ^{2 } } }{\sqrt[3 ]{2 } \cdot \sqrt[3 ]{2 ^{2 } } } = \frac{\sqrt[3 ]{4 } }{\sqrt[3 ]{2 ^{3 } } } = \frac{\sqrt[3 ]{4 } }{2 }$

$\frac{ab }{\sqrt[4 ]{x a ^{2 } b ^{3 } } }$ il fattore razionalizzante è $\sqrt[4 ]{x ^{3 } a ^{2 } b }$ $\frac{ab }{\sqrt[4 ]{x a ^{2 } b ^{3 } } } = \frac{ab \cdot \sqrt[4 ]{x ^{3 } a ^{2 } b } }{\sqrt[4 ]{x a ^{2 } b ^{3 } } \cdot \sqrt[4 ]{x ^{3 } a ^{2 } b } } = \frac{ab \sqrt[4 ]{x ^{3 } a ^{2 } b } }{\sqrt[4 ]{x ^{4 } a ^{4 } b ^{4 } } } = \frac{ab \sqrt[4 ]{x ^{3 } a ^{2 } b } }{xab } = \frac{\sqrt[4 ]{x ^{3 } a ^{2 } b } }{x }$

$\frac{1 }{\sqrt[3 ]{b ^{5 } } } = \frac{1 }{b \sqrt[3 ]{b ^{2 } } } = \frac{1 \cdot \sqrt[3 ]{b } }{b \sqrt[3 ]{b ^{2 } } \cdot \sqrt[3 ]{b } } = \frac{\sqrt[3 ]{b } }{b ^{2 } }$ con $b \neq 0$ .

III Caso

La frazione è del tipo $\frac{x }{\sqrt{a } + \sqrt{b } }$ oppure $\frac{x }{\sqrt{a } - \sqrt{b } }$

Per questo tipo di frazione occorre sfruttare il prodotto notevole $( a + b ) ( a - b ) = a ^{2 } - b ^{2 }$ . Il fattore razionalizzante del primo tipo è $\sqrt{a } - \sqrt{b }$ , nel secondo è $\sqrt{a } + \sqrt{b }$ .

Sviluppiamo solo il primo tipo, poiché il secondo è del tutto analogo:

$\frac{x }{\sqrt{a } + \sqrt{b } } = \frac{x \cdot ( \sqrt{a } - \sqrt{b } ) }{( \sqrt{a } + \sqrt{b } ) \cdot ( \sqrt{a } - \sqrt{b } ) } = \frac{x ( \sqrt{a } - \sqrt{b } ) }{\sqrt{a ^{2 } } - \sqrt{b ^{2 } } } = \frac{x ( \sqrt{a } - \sqrt{b } ) }{a - b }$

Esempi

$\frac{2 }{\sqrt{3 } - \sqrt{5 } } = \frac{2 \cdot ( \sqrt{3 } + \sqrt{5 } ) }{( \sqrt{3 } - \sqrt{5 } ) \cdot ( \sqrt{3 } + \sqrt{5 } ) } = \frac{2 ( \sqrt{3 } + \sqrt{5 } ) }{\sqrt{3 ^{2 } } - \sqrt{5 ^{2 } } } = \frac{2 ( \sqrt{3 } + \sqrt{5 } ) }{3 - 5 } = \frac{2 ( \sqrt{3 } + \sqrt{5 } ) }{- 2 } = - ( \sqrt{3 } + \sqrt{5 } )$

$\frac{\sqrt{2 } }{3 - \sqrt{2 } } = \frac{\sqrt{2 } \cdot ( 3 + \sqrt{2 } ) }{( 3 - \sqrt{2 } ) \cdot ( 3 + \sqrt{2 } ) } = \frac{\sqrt{2 } ( 3 + \sqrt{2 } ) }{3 ^{2 } - \sqrt{2 ^{2 } } } = \frac{\sqrt{2 } ( 3 + \sqrt{2 } ) }{9 - 2 } = \frac{\sqrt{2 } ( 3 + \sqrt{2 } ) }{7 }$

$\frac{1 + \sqrt{a } }{1 - \sqrt{a } } = \frac{( 1 + \sqrt{a } ) \cdot ( 1 + \sqrt{a } ) }{( 1 - \sqrt{a } ) ( 1 + \sqrt{a } ) } = \frac{( 1 + \sqrt{a } ) ^{2 } }{1 - \sqrt{a ^{2 } } } = \frac{1 + 2 \sqrt{a } + a }{1 - a }$ con $a \geq 0 \wedge a \neq 1$

IV Caso

La frazione è del tipo $\frac{x }{\sqrt{a } + \sqrt{b } + \sqrt{c } }$

Anche in questo caso si utilizza il prodotto notevole della differenza di quadrati, solo che va ripetuto più volte.

Esempio

$\frac{1 }{\sqrt{2 } + \sqrt{3 } + \sqrt{5 } }$ il fattore di razionalizzazione è $\sqrt{2 } + \sqrt{3 } - \sqrt{5 }$ $\frac{1 }{\sqrt{2 } + \sqrt{3 } + \sqrt{5 } } \cdot \frac{\sqrt{2 } + \sqrt{3 } - \sqrt{5 } }{\sqrt{2 } + \sqrt{3 } - \sqrt{5 } } = \frac{\sqrt{2 } + \sqrt{3 } - \sqrt{5 } }{( \sqrt{2 } + \sqrt{3 } ) ^{2 } - 5 } = \frac{\sqrt{2 } + \sqrt{3 } - \sqrt{5 } }{2 + 3 + 2 \sqrt{6 } - 5 } = \frac{\sqrt{2 } + \sqrt{3 } - \sqrt{5 } }{2 \sqrt{6 } }$ il fattore razionalizzante di questa frazione è $\sqrt{6 }$ . $\frac{\sqrt{2 } + \sqrt{3 } - \sqrt{5 } }{2 \sqrt{6 } } \cdot \frac{\sqrt{6 } }{\sqrt{6 } } = \frac{\sqrt{12 } + \sqrt{18 } - \sqrt{30 } }{2 \cdot 6 }$ portando fuori radice si ha $\frac{2 \sqrt{3 } + 3 \sqrt{2 } - \sqrt{30 } }{12 }$

V Caso

La frazione è del tipo $\frac{x }{\sqrt[3 ]{a } + \sqrt[3 ]{b } }$

Si utilizza il prodotto notevole $( a + b ) ( a ^{2 } - ab + b ^{2 } ) = a ^{3 } + b ^{3 }$ e quello analogo $( a - b ) ( a ^{2 } + ab + b ^{2 } ) = a ^{3 } - b ^{3 }$

$\frac{x }{\sqrt[3 ]{a } + \sqrt[3 ]{b } } = \frac{x }{\sqrt[3 ]{a } + \sqrt[3 ]{b } } \cdot \frac{\sqrt[3 ]{a ^{2 } } - \sqrt[3 ]{ab } + \sqrt[3 ]{b ^{2 } } }{\sqrt[3 ]{a ^{2 } } - \sqrt[3 ]{ab } + \sqrt[3 ]{b ^{2 } } } = \frac{x \left( \sqrt[3 ]{a ^{2 } } - \sqrt[3 ]{ab } + \sqrt[3 ]{b ^{2 } } \right) }{( \sqrt[3 ]{a } ) ^{3 } + ( \sqrt[3 ]{b } ) ^{3 } } = \frac{x \left( \sqrt[3 ]{a ^{2 } } - \sqrt[3 ]{ab } + \sqrt[3 ]{b ^{2 } } \right) }{a + b }$

Esempio

$\frac{1 }{\sqrt[3 ]{2 } - \sqrt[3 ]{3 } }$ il fattore di razionalizzazione è $\sqrt[3 ]{2 ^{2 } } + \sqrt[3 ]{2 \cdot 3 } + \sqrt[3 ]{3 ^{2 } }$ quindi $\frac{1 \cdot \left( \sqrt[3 ]{2 ^{2 } } + \sqrt[3 ]{2 \cdot 3 } + \sqrt[3 ]{3 ^{2 } } \right) }{\left( \sqrt[3 ]{2 } - \sqrt[3 ]{3 } \right) \cdot \left( \sqrt[3 ]{2 ^{2 } } + \sqrt[3 ]{2 \cdot 3 } + \sqrt[3 ]{3 ^{2 } } \right) } = \frac{\sqrt[3 ]{2 ^{2 } } + \sqrt[3 ]{2 \cdot 3 } + \sqrt[3 ]{3 ^{2 } } }{2 - 3 } = - \left( \sqrt[3 ]{4 } + \sqrt[3 ]{6 } + \sqrt[3 ]{9 } \right)$

Radicali doppi¶

Si dice radicale doppio un’espressione del tipo $\sqrt{a + \sqrt{b } }$ oppure $\sqrt{a - \sqrt{b } }$

I radicali doppi possono essere trasformati nella somma algebrica di due radicali semplici se l’espressione $a ^{2 } - b$ è un quadrato perfetto, la formula per ottenere la trasformazione in radicali semplici è:

$\sqrt{a \pm \sqrt{b } } = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a ^{2 } - b } }{2 } } \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a ^{2 } - b } }{2 } }$

Esempi

$\sqrt{7 - \sqrt{40 } } = \sqrt{\frac{7 + \sqrt{49 - 40 } }{2 } } - \sqrt{\frac{7 - \sqrt{49 - 40 } }{2 } } = \sqrt{\frac{7 + 3 }{2 } } - \sqrt{\frac{7 - 3 }{2 } } = \sqrt{5 } - \sqrt{2 }$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{3 } } = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 ^{2 } - 3 } }{2 } } - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2 ^{2 } - 3 } }{2 } } = \sqrt{\frac{2 + 1 }{2 } } - \sqrt{\frac{2 - 1 }{2 } } = \sqrt{\frac{3 }{2 } } - \sqrt{\frac{1 }{2 } } = \frac{\sqrt{3 } }{\sqrt{2 } } - \frac{1 }{\sqrt{2 } } = \frac{\sqrt{3 } - \sqrt{2 } }{\sqrt{2 } } =$ $= \frac{( \sqrt{3 } - \sqrt{2 } ) \cdot \sqrt{2 } }{\sqrt{2 } \cdot \sqrt{2 } } = \frac{\sqrt{6 } - \sqrt{2 } }{2 }$ .

$\sqrt{7 + 2 \sqrt{6 } } = \sqrt{7 + \sqrt{24 } } = \sqrt{\frac{7 - \sqrt{49 - 24 } }{2 } } + \sqrt{\frac{7 - \sqrt{49 - 24 } }{2 } } = \sqrt{\frac{7 + 5 }{2 } } + \sqrt{\frac{7 - 5 }{2 } } = \sqrt{6 } + 1$ .

$\sqrt{5 + \sqrt{3 } } = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{25 - 3 } }{2 } } + \sqrt{\frac{5 - \sqrt{25 - 3 } }{2 } } = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{22 } }{2 } } + \sqrt{\frac{5 - \sqrt{22 } }{2 } }$ la formula non è stata di alcuna utilità in quanto il radicale doppio non è stato eliminato.

Equazioni, disequazioni e sistemi a coefficienti irrazionali¶

Avendo imparato come operare con i radicali puoi risolvere equazioni, sistemi e disequazioni con coefficienti irrazionali.

Equazioni di primo grado¶

Esempi

$\sqrt{3 } x = 9$ $\sqrt{3 } x = 9 \rightarrow x = \frac{9 }{\sqrt{3 } } \rightarrow x = \frac{9 }{\sqrt{3 } } \cdot \frac{\sqrt{3 } }{\sqrt{3 } } = \frac{9 \sqrt{3 } }{3 } = 3 \sqrt{3 }$

$( \sqrt{3 } - 1 ) x - \sqrt{6 } = 2x - \sqrt{2 } ( 3 \sqrt{2 } + 1 ) + 1$ $\sqrt{3 } x - x - \sqrt{6 } = 2x - 3 \cdot 2 - \sqrt{2 } + 1$ ;tab; $\sqrt{3 } x - x - 2x = \sqrt{6 } - 6 - \sqrt{2 } + 1$ $\sqrt{3 } x - 3x = \sqrt{6 } - \sqrt{2 } - 5$ $x ( \sqrt{3 } - 3 ) = \sqrt{6 } - \sqrt{2 } - 5$ $x = \frac{\sqrt{6 } - \sqrt{2 } - 5 }{\sqrt{3 } - 3 }$ $x = \frac{\sqrt{6 } - \sqrt{2 } - 5 }{\sqrt{3 } - 3 } \cdot \frac{\sqrt{3 } + 3 }{\sqrt{3 } + 3 } = \frac{3 \sqrt{2 } + 3 \sqrt{6 } - \sqrt{6 } - 5 \sqrt{3 } - 15 }{3 - 9 } = \frac{2 \sqrt{6 } - 5 \sqrt{3 } - 15 }{- 6 } = - \frac{\sqrt{6 } }{3 } + \frac{5 \sqrt{3 } }{6 } + \frac{5 }{2 }$

Disequazioni di primo grado¶

Esempio

$( \sqrt{3 } - 1 ) x \leq \sqrt{3 }$ il coefficiente è positivo quindi: $( \sqrt{3 } - 1 ) x \leq \sqrt{3 } \rightarrow x \leq \frac{\sqrt{3 } }{\sqrt{3 } - 1 } \rightarrow x \leq \frac{\sqrt{3 } }{\sqrt{3 } - 1 } \cdot \frac{\sqrt{3 } + 1 }{\sqrt{3 } + 1 } \rightarrow x \leq \frac{3 + \sqrt{3 } }{3 - 1 } \rightarrow x \leq \frac{3 + \sqrt{3 } }{2 }$

$2 x - ( 1 - \sqrt{2 } ) \geq - 3 \sqrt{2 }$ il coefficiente dell’incognita è positivo, quindi $x \leq \frac{- 3 \sqrt{2 } }{2 ( 1 - \sqrt{2 } ) }$ e poi razionalizzando $x \leq 3 + \frac{3 }{2 } \sqrt{2 }$

Sistemi di primo grado¶

Esempio

$\{ \begin{array}{l } x ( 2 + \sqrt{2 } ) + y = \sqrt{2 } ( 2 + x ) \\x - ( \sqrt{2 } + 1 ) y = - \frac{\sqrt{2 } }{2 } ( 1 + 2y ) \end{array}$ eseguiamo i calcoli per ottenere la forma canonica $\left \{ \begin{array}{l } 2x + x \sqrt{2 } + y = 2 \sqrt{2 } + x \sqrt{2 } \\x - y \sqrt{2 } - y = - \frac{\sqrt{2 } }{2 } - y \sqrt{2 } \end{array}\right . \rightarrow \left \{ \begin{array}{l } 2x + y = 2 \sqrt{2 } \\x - y = - \frac{\sqrt{2 } }{2 } \end{array}\right .$ con il metodo di riduzione, sommando le due equazioni otteniamo $\left \{ \begin{array}{l } 3 x = 2 \sqrt{2 } - \frac{\sqrt{2 } }{2 } \\y = 2 \sqrt{2 } - 2 x \end{array}\right . \rightarrow \left \{ \begin{array}{l } x = \frac{\sqrt{2 } }{2 } \\y = 2 \sqrt{2 } - 2 \frac{\sqrt{2 } }{2 } \end{array}\right . \rightarrow \left \{ \begin{array}{l } x = \frac{\sqrt{2 } }{2 } \\y = \sqrt{2 } \end{array}\right .$

Esercizi¶

Radici¶

Senza usare la calcolatrice determina per ciascuna delle seguenti radici quadrate il valore approssimato a 1/10: $\sqrt{3 }$ ; $\sqrt{5 }$ ; $\sqrt{7 }$ ; $\sqrt{11 }$ ; $\sqrt{\frac{1 }{2 } }$ ; $\sqrt{\frac{17 }{4 } }$
Estrai le seguenti radici di espressioni letterali, facendo attenzione al valore assoluto: $\sqrt{a ^{2 } + 2a + 1 }$ , $\sqrt{4x ^{2 } + 8x + 4 }$ , $\sqrt{9 - 12a + 4a ^{2 } }$
Determina le seguenti radici quadrate razionali (quando è possibile calcolarle)
$\sqrt{9 }$ , $\sqrt{36 }$ , $\sqrt{- 49 }$ , $\sqrt{64 }$ , $\sqrt{- 81 }$
$\sqrt{\frac{16 }{25 } }$ , $\sqrt{\frac{49 }{81 } }$ , $\sqrt{\frac{121 }{100 } }$ , $\sqrt{\frac{144 }{36 } }$ , $\sqrt{\frac{- 1 }{4 } }$
$\sqrt{0,04 }$ , $\sqrt{0,09 }$ , $\sqrt{0,0001 }$ , $\sqrt{0,16 }$ , $\sqrt{- 0,09 }$
$\sqrt{\frac{144 }{9 } }$ , $\sqrt{25 \cdot 16 }$ , $\sqrt{36 \cdot 49 }$ , $\sqrt{0,04 \cdot 0,0121 }$ , $\sqrt{\frac{1 }{100 } }$
$\sqrt{13 + \sqrt{7 + \sqrt{1 + \sqrt{6 + \sqrt{9 } } } } }$ , $\sqrt{5 + \sqrt{14 + \sqrt{2 + \sqrt{4 } } } }$
Senza usare la calcolatrice determina per ciascuna delle seguenti radici cubiche il valore approssimato a 1/10: $\sqrt[3 ]{3 }$ , $\sqrt[3 ]{4 }$ , $\sqrt[3 ]{7 }$ , $\sqrt[3 ]{100 }$ , $\sqrt[3 ]{25 }$ , $\sqrt[3 ]{250 }$
Determina le seguenti radici se esistono
$\sqrt[3 ]{27 }$ , $\sqrt[3 ]{64 }$ R. $4$ , $\sqrt[3 ]{- 1 }$
$\sqrt[3 ]{1000 }$ , $\sqrt[3 ]{125 }$ , $\sqrt[3 ]{- 216 }$
$\sqrt[3 ]{\frac{8 }{27 } }$ , $\sqrt[3 ]{- \frac{64 }{125 } }$ , $\sqrt[3 ]{\frac{1000 }{27 } }$ R. $\frac{10 }{3 }$
$\sqrt[3 ]{0,001 }$ , $\sqrt[3 ]{\frac{1 }{8 } }$ , $\sqrt[3 ]{- 0,008 }$
$\sqrt[3 ]{4 + \sqrt[3 ]{61 + \sqrt[3 ]{25 + \sqrt[3 ]{8 } } } }$ , $\sqrt[3 ]{25 + \sqrt[3 ]{3 + \sqrt[3 ]{122 + \sqrt[3 ]{27 } } } }$ R. $3$ , $\sqrt[3 ]{27 \cdot \sqrt{64 } }$
$\sqrt[9 ]{0 }$ $\sqrt[8 ]{- 1 }$ R. non esiste, $\sqrt[5 ]{- 100000 }$
$\sqrt[4 ]{0,0001 }$ , $\sqrt[4 ]{81 }$ , $\sqrt[6 ]{64 }$
$\sqrt[5 ]{\frac{32 }{243 } }$ R. $\frac{2 }{3 }$ , $\sqrt[4 ]{- 4 }$ , $\sqrt[10 ]{0 }$
$\sqrt[4 ]{0,0081 }$ , $\sqrt[5 ]{34 - \sqrt[4 ]{14 + \sqrt{2 + \sqrt[3 ]{8 } } } }$ R.2, $\sqrt{20 + \sqrt[3 ]{121 + \sqrt[4 ]{253 + \sqrt[5 ]{243 } } } }$
$\sqrt{21 + \sqrt{16 } }$ , $\sqrt[5 ]{31 + \sqrt[4 ]{1 } }$ , $\sqrt[5 ]{240 + \sqrt{9 } }$ R.3
$\sqrt{\sqrt{0,16 } }$ , $\sqrt[5 ]{32 \cdot 10 ^{- 5 } }$ R.0,2, $\sqrt{3 \sqrt{37 - 4 \sqrt{81 } } \cdot 27 }$ R.5
$\sqrt{72 + \sqrt{80 + \sqrt{1 } } }$ , $\sqrt{\frac{25 a ^{4 } }{9 } }$ , $\sqrt[4 ]{620 + \sqrt[4 ]{625 } }$
$\sqrt{24336 }$ $\sqrt[5 ]{243 }$ $\sqrt[4 ]{600 + \sqrt{25 } \cdot \sqrt{25 } }$
$\sqrt[3 ]{8a ^{3 } + 12a ^{2 } + 6a + 1 }$ R.(2a+1), $\sqrt[3 ]{a ^{6 } + 9a ^{4 } + 27a ^{2 } + 27 }$ R. $a ^{2 } + 3$ , $\sqrt[3 ]{1 - 6x + 12x ^{2 } - 8x ^{3 } }$ R.1-2x

Condizioni di esistenza¶

Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali.

$\sqrt[3 ]{x + 1 }$ R. $C.E. \forall x \in \mathbb{R}$ , $\sqrt{1 - x }$ R. $C.E. x \leq 1$
$\sqrt{\frac{1 }{x + 1 } }$ R. $C.E. x > - 1$ , $\sqrt{3x ^{2 } y }$ R. $C.E. y \geq 0$
$\sqrt[3 ]{3xy }$ $\sqrt[4 ]{- 2x ^{2 } y ^{2 } }$
$\sqrt[4 ]{\frac{x ^{2 } + 1 }{x - 1 } }$ R. $C.E. x > 1$ , $\sqrt[5 ]{\frac{1 }{x ^{3 } } }$
$\sqrt{\frac{4 - x }{x - 3 } }$ , $\sqrt{x ^{2 } ( x + 1 ) }$ R. $C.E. x \geq - 1$
$\sqrt[3 ]{1 + a ^{2 } }$ . $\sqrt[6 ]{2x - 1 }$
$\sqrt{1 - x } + 2 \sqrt{\frac{1 }{x - 1 } }$ R. nessun valore, $\sqrt{1 + \left\lvert x \right\rvert }$
$\sqrt{( a - 1 ) ( a - 2 ) }$ , $\sqrt{\left\lvert x \right\rvert + 1 } \cdot \sqrt[3 ]{x + 1 }$
$\sqrt[3 ]{\frac{x ^{2 } + x + 1 }{x ^{2 } + 2x + 1 } }$ , $\sqrt{\frac{1 }{x ^{2 } } - 1 } \cdot \sqrt[4 ]{\frac{x - 1 }{3 - x } }$ R. $C.E. x = 1$
$\sqrt{\frac{5 - x }{x + 2 } }$ R. $C.E. - 2 < x \leq 5$ , $\sqrt{\frac{2 y }{( 2 y + 1 ) ^{2 } } }$
$\sqrt{\frac{x - 3 }{1 - x } }$ , $\sqrt{\frac{a }{a ^{2 } - a - 2 } }$
$\sqrt{\frac{1 }{b ^{2 } - 4 } }$ R. $C.E. b < - 2 \vee b > 2$ , $\sqrt{\frac{( x - 1 ) ^{2 } }{( x - 3 ) ( x + 2 ) } }$
$\sqrt{\frac{2 }{x } + \frac{x }{2 } }$ , $\sqrt[6 ]{\frac{x - 1 }{\left\lvert x \right\rvert } }$
$\sqrt[4 ]{\frac{4 x ^{2 } + 4 + 8 x }{9 } }$ , $\sqrt[6 ]{\frac{\left( b ^{2 } + 1 + 2 b \right) ^{3 } }{729 b ^{6 } } }$
$\sqrt{\frac{x ( x - 1 ) }{x - 4 } }$ R. $C.E. 0 \leq x \leq 1 \vee x > 4$ , $\sqrt{\frac{1 }{x ^{2 } } + \frac{1 }{y ^{2 } } + \frac{2 }{xy } }$
$\sqrt[4 ]{\frac{m + 1 }{m - 1 } }$ , $\sqrt[3 ]{x ( x + 2 ) ^{2 } }$
$\sqrt{\frac{1 + a }{a ^{2 } } }$ , $\sqrt{\frac{a + 2 }{a ( a - 4 ) } }$ R. $C.E. - 2 < a < 0 \vee a > 4$
$\sqrt{\frac{1 }{b ^{2 } - 4 } }$ , $\sqrt{\frac{a ^{3 } }{a ^{2 } + 6 a + 9 } }$
$\sqrt{\frac{x ^{2 } }{x ^{2 } + 1 } }$ R. $C.E. \forall x \in \mathbb{R}$ , $\sqrt{\frac{x ^{2 } - 4 }{x - 2 } }$
$\sqrt{\frac{x }{x ^{2 } + 1 } }$ , $\sqrt[3 ]{\frac{x ^{3 } }{x ^{3 } + 1 } }$ R. $C.E. \forall x \in \mathbb{R}$
$\sqrt{2 x + 3 }$ , $\sqrt[3 ]{a ^{2 } - 1 }$
$\sqrt{x ( x + 1 ) ( x + 2 ) }$ R. $C.E. - 2 < x < - 1 \vee x > 0$ , $\sqrt{\left\lvert x \right\rvert + 1 }$ R. $C.E. \forall x \in \mathbb{R}$
$\sqrt{\frac{x }{\left\lvert x + 1 \right\rvert } }$ R. $C.E. x > 0$ , $\sqrt{\frac{1 }{- x ^{2 } - 1 } }$ R. nessun valore

Potenze a esponente razionale¶

Calcola le seguenti potenze con esponente razionale

$4 ^{\frac{3 }{2 } }$ , $8 ^{\frac{2 }{3 } }$ , $9 ^{- \frac{1 }{2 } }$ , $16 ^{\frac{3 }{4 } }$
$16 ^{\frac{5 }{4 } }$ , $\left( \frac{9 }{4 } \right) ^{\frac{4 }{3 } }$ , $125 ^{- \frac{2 }{3 } }$ R. $\frac{1 }{25 }$ , $\left( \frac{1 }{8 } \right) ^{- \frac{3 }{2 } }$
$25 ^{- \frac{3 }{2 } }$ , $27 ^{\frac{4 }{3 } }$ , $32 ^{\frac{2 }{5 } }$ R.4, $49 ^{- \frac{1 }{2 } }$
$\left( \frac{1 }{4 } \right) ^{- \frac{1 }{2 } }$ , $\left( - \frac{1 }{27 } \right) ^{- \frac{2 }{3 } }$ , $\left( \frac{4 }{9 } \right) ^{- \frac{5 }{2 } }$ , $\left( 0,008 \right) ^{- \frac{2 }{3 } }$ R.25
$4 ^{0,5 }$ , $16 ^{0,25 }$ , $32 ^{0,2 }$ R.2, $100 ^{0,5 }$
Trasforma le seguenti espressioni in forma di potenza con esponente frazionario
$\sqrt{2 }$ , $\sqrt[3 ]{8 ^{2 } }$ , $\sqrt[7 ]{5 ^{3 } }$ R. $5 ^{\frac{3 }{7 } }$ , $\sqrt{3 ^{3 } }$
$\sqrt{\left( \frac{1 }{3 ^{3 } } \right) }$ , $\sqrt[3 ]{\frac{1 }{3 ^{2 } } }$ , $\sqrt[3 ]{\frac{1 }{25 } }$ R. $25 ^{- \frac{1 }{3 } }$ , $\sqrt[5 ]{\frac{4 ^{2 } }{3 ^{2 } } }$
Trasforma nella forma radicale: $\left( \left( a ^{2 } + 1 \right) ^{\frac{2 }{3 } } + 1 \right) ^{\frac{1 }{4 } }$ R. $\sqrt[4 ]{\sqrt[3 ]{( a ^{2 } + 1 ) ^{2 } + 1 } }$ , $\left( 1 + \left( 1 + a ^{\frac{2 }{3 } } \right) ^{\frac{1 }{5 } } \right) ^{\frac{2 }{3 } }$
Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri: $0,00000001$ , $( 0,1 ) ^{10 }$ , $( 0,1 ) ^{0,1 }$ , $10 ^{- 10 }$ , $\sqrt{0,0000000001 }$

Semplificazione delle radici¶

Trasforma i seguenti radicali applicando la proprietà invariantiva

$\sqrt[4 ]{4 } = \sqrt[8 ]{\dots }$ $\sqrt[3 ]{9 } = \sqrt[6 ]{\dots }$ $\sqrt[5 ]{5 } = \sqrt[15 ]{\dots }$ $\sqrt{2 } = \sqrt[6 ]{\dots }$
$\sqrt{2 } = \sqrt[\dots ]{16 }$ $\sqrt[3 ]{3 } = \sqrt[\dots ]{81 }$ $\sqrt[3 ]{- 5 } = - \sqrt[\dots ]{25 }$ $\sqrt[4 ]{\frac{3 }{2 } } = \sqrt[\dots ]{\frac{27 }{8 } }$
$\sqrt[21 ]{a ^{7 } } = \sqrt[6 ]{\dots }$ con a>0 $\sqrt[8 ]{a ^{24 } } = \sqrt[5 ]{\dots }$ con a>0 $\sqrt[3 ]{27 } = \frac{1 }{\sqrt{\dots } }$ $\sqrt{x ^{4 } + 2x ^{2 } + 1 } = \sqrt[7 ]{\dots }$

Semplifica i radicali

$\sqrt[4 ]{25 }$ , $\sqrt[6 ]{8 }$ , $\sqrt[8 ]{16 }$ R. $\sqrt{2 }$
$\sqrt[9 ]{27 }$ , $\sqrt[4 ]{100 }$ R. $\sqrt{10 }$ , $\sqrt[6 ]{144 }$
$\sqrt[4 ]{169 }$ , $\sqrt[6 ]{121 }$ , $\sqrt[6 ]{125 }$ R. $\sqrt{5 }$
$\sqrt[4 ]{49 }$ , $\sqrt[6 ]{64 }$ R. 2, $\sqrt[12 ]{16 }$
$\sqrt[6 ]{\frac{16 }{121 } }$ R. $\sqrt[3 ]{\frac{4 }{11 } }$ , $\sqrt[4 ]{\frac{1 }{16 } }$ , $\sqrt[10 ]{\frac{25 }{81 } }$
$\sqrt[15 ]{\frac{64 }{27 } }$ , $\sqrt[9 ]{- 3 ^{3 } }$ R. $\sqrt[3 ]{- 3 }$ , $\sqrt[6 ]{( - 2 ) ^{4 } }$
$\sqrt[12 ]{- 4 ^{6 } }$ R. impossibile, $\sqrt[10 ]{- 32 }$ , $\sqrt[6 ]{5 ^{2 } - 4 ^{2 } }$
$\sqrt[4 ]{12 ^{2 } + 5 ^{2 } }$ , $\sqrt[10 ]{3 ^{2 } + 4 ^{2 } }$ R. $\sqrt[5 ]{5 }$ , $\sqrt[4 ]{10 ^{2 } - 8 ^{2 } }$
$\sqrt[3 ]{2 ^{6 } \cdot 5 ^{15 } }$ R. 12.500, $\sqrt[4 ]{3 ^{4 } \cdot 4 ^{6 } }$ , $\sqrt[5 ]{5 ^{5 } \cdot 4 ^{10 } \cdot 2 ^{15 } }$
$\sqrt[9 ]{27 \cdot 8 \cdot 125 }$ , $\sqrt[4 ]{625 }$ R. 5, $\sqrt[6 ]{1000 }$
$\sqrt[4 ]{2 + \frac{17 }{16 } }$ , $\sqrt[6 ]{\left( \frac{13 }{4 } + \frac{1 }{8 } \right) ^{4 } }$ R. $\frac{9 }{4 }$ , $\sqrt[6 ]{\left( 1 + \frac{21 }{4 } \right) ^{3 } }$
$\sqrt[16 ]{( - 16 ) ^{4 } }$ R. 2, $\sqrt[10 ]{2 ^{10 } \cdot 3 ^{20 } }$ , $\sqrt[6 ]{2 ^{8 } \cdot 3 ^{6 } }$
$\sqrt[12 ]{3 ^{6 } \cdot 4 ^{12 } }$ R. $4 \cdot \sqrt{3 }$ , $\sqrt[4 ]{2 ^{10 } \cdot 3 ^{15 } \cdot 12 ^{5 } }$ , $\sqrt[6 ]{3 ^{9 } \cdot 8 ^{2 } }$
$\sqrt[4 ]{9x ^{2 } y ^{4 } }$ , $\sqrt[3 ]{64a ^{6 } b ^{9 } }$ R. $4 a ^{2 } b ^{3 }$ , $\sqrt[3 ]{x ^{6 } y ^{9 } ( x - y ) ^{12 } }$
$\sqrt[5 ]{\frac{32a ^{10 } }{b ^{20 } } }$ , $\sqrt[4 ]{\frac{20a ^{6 } }{125b ^{10 } } }$ , $\sqrt[8 ]{\frac{16 x ^{5 } y ^{8 } }{81 x } }$ R. $\left\lvert y \right\rvert \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot \left\lvert x \right\rvert }{3 } }$
$\left( \sqrt{a + 1 } \right) ^{6 }$ , $\sqrt[9 ]{27 a ^{6 } b ^{12 } }$ , $\sqrt[12 ]{( 2 x + 3 ) ^{3 } }$ R. $\sqrt{( 2 x + 3 ) }$
$\sqrt[6 ]{\frac{0,008 x ^{15 } y ^{9 } }{8 a ^{18 } } }$ $\sqrt[10 ]{\frac{121 a ^{5 } }{a b ^{2 } } }$ R. $\sqrt[5 ]{\frac{11 a ^{2 } }{b } }$ $\sqrt{\frac{25 a ^{4 } b ^{8 } c ^{7 } }{c ( a + 2 b ) ^{6 } } }$
$\sqrt[6 ]{a ^{2 } + 2 a + 1 }$ , $\sqrt[9 ]{a ^{3 } + 3 a ^{2 } + 3 a + 1 }$ , $\sqrt{3 a ^{2 } + \sqrt{a ^{4 } } }$ R. $2 \cdot \left\lvert a \right\rvert$
$\sqrt[4 ]{x ^{4 } + 2 x ^{2 } + 1 }$ , $\sqrt[10 ]{a ^{4 } + 6 a ^{2 } x + 9 x ^{2 } }$ R. $\sqrt[5 ]{\left\lvert a ^{2 } + 3 x \right\rvert }$ , $\sqrt[6 ]{8 a ^{3 } - 24 a ^{2 } + 24 a - 8 }$
$\sqrt[6 ]{\frac{9 x ^{2 } }{y ^{6 } } }$ , $\sqrt[4 ]{\frac{16 a ^{4 } b ^{6 } }{25 x ^{2 } } }$ , $\sqrt{\frac{2 x ^{2 } - 2 }{8 x ^{2 } - 8 } }$ R. $\frac{1 }{2 }$
$\sqrt[8 ]{a ^{4 } + 2 a ^{2 } x ^{2 } + x ^{4 } }$ , $\sqrt{\frac{25 a ^{4 } b ^{6 } }{a ^{4 } + 4 + 4 a ^{2 } } }$ R. $\frac{5a ^{2 } \left\lvert b ^{3 } \right\rvert }{a ^{2 } + 2 }$ , $\sqrt[9 ]{x ^{6 } + 3 x ^{5 } + 3 x ^{4 } + x ^{3 } }$
$\sqrt[4 ]{a ^{2 } + 6 a + 9 }$ , $\sqrt[9 ]{8 x ^{3 } - 12 x ^{2 } + 6 x + x ^{3 } }$ , $\sqrt[4 ]{a ^{4 } ( a ^{2 } - 2 a + 1 ) }$ R. $\left\lvert a \right\rvert \sqrt{\left\lvert a - 1 \right\rvert }$
$\sqrt[4 ]{( x ^{2 } - 6 x + 9 ) ^{2 } }$ R. $\left\lvert x - 3 \right\rvert$ , $\sqrt[12 ]{( x ^{2 } + 6 x + 9 ) ^{3 } }$ , $\sqrt{a ^{2 } + 2 a + 1 } - \sqrt{a ^{2 } - 2 a + 1 }$
$\sqrt[18 ]{\frac{a ^{9 } + 3 a ^{8 } + 3 a ^{7 } + a ^{6 } }{9 a ^{7 } + 9a ^{5 } + 18 a ^{6 } } }$ , $\sqrt[6 ]{\frac{( x ^{2 } + 1 - 2 x ) ^{3 } b }{b ^{7 } \left( x ^{3 } + 3 x ^{2 } + 3 x + 1 \right) ^{2 } } }$ R. $\frac{\left\lvert x - 1 \right\rvert }{\left\lvert b \right\rvert \left\lvert x + 1 \right\rvert }$ , $\sqrt{\frac{\left( x ^{3 } + x ^{2 } y \right) ( a + 2 ) }{2 x + 2 y + a x + a y } }$
$\sqrt[2 n ]{16 ^{n } }$ , $\sqrt[4 n ]{\frac{2 ^{3 n } }{3 ^{2 n } } }$ R. $\sqrt[4 ]{\frac{8 }{9 } }$ , $\sqrt[n ^{2 } ]{\frac{6 ^{2 n } }{5 ^{3 n } } }$
$\sqrt[3 n ]{27 ^{n } \cdot 64 ^{2n } }$ , $\sqrt[2n ^{2 } ]{16 ^{2n } \cdot 81 ^{2n } }$ R. $\sqrt[n ]{6 ^{4 } }$ , $\sqrt[n + 1 ]{16 ^{2n + 2 } }$
$\sqrt[5 ]{25 x ^{3 } y ^{4 } }$ , $\sqrt[12 ]{81 a ^{6 } b ^{12 } }$ , $\sqrt[5 ]{32 x ^{10 } }$ R. $2x ^{2 }$

Moltiplicazione e divisione di radici con indici diversi¶

Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni di radicali (le lettere, dove compaiono, rappresentano numeri reali positivi)

$\sqrt{45 } \cdot \sqrt{5 }$ R. 15, $\sqrt{2 } \cdot \sqrt{18 }$ , $\sqrt[3 ]{16 } \cdot \sqrt[3 ]{4 }$
$\sqrt{75 } \cdot \sqrt{12 }$ R. 30, $\sqrt[3 ]{20 } \cdot \sqrt{50 }$ , $\sqrt{40 } \div \left( \sqrt{2 } \cdot \sqrt{5 } \right)$
$\sqrt{\frac{1 }{5 } } \cdot \sqrt{45 }$ , $\sqrt[3 ]{3 } \div \sqrt[3 ]{9 }$ , $\sqrt[5 ]{2 } \cdot \sqrt[5 ]{6 } \div \sqrt[5 ]{12 }$ R. 1
$\sqrt[6 ]{81 } \cdot \sqrt[6 ]{81 } \div \sqrt[6 ]{9 }$ , $\sqrt[4 ]{1 + \frac{1 }{2 } } \cdot \sqrt[4 ]{2 - \frac{1 }{2 } } \cdot \sqrt[4 ]{1 + \frac{5 }{4 } }$ , $\sqrt{3 } \cdot \sqrt[3 ]{9 }$ R. $\sqrt[6 ]{3 ^{7 } }$
$\sqrt[3 ]{2 } \cdot \sqrt{8 }$ , $\sqrt[6 ]{81 } \cdot \sqrt{3 }$ R. $\sqrt[6 ]{3 ^{7 } }$ , $\sqrt{2 } \cdot \sqrt{2 } \cdot \sqrt{2 }$
$\sqrt{\frac{10 }{3 } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{6 }{5 } } \div \sqrt[4 ]{\frac{2 }{25 } }$ , $\sqrt{\frac{10 }{2 } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{6 }{3 } } \div \sqrt[6 ]{\frac{4 }{9 } }$ R. $\sqrt[6 ]{\frac{3 ^{2 } \cdot 5 ^{3 } }{4 ^{2 } } }$ , $\sqrt{2 ^{3 } \cdot 3 } \cdot \sqrt{2 } \cdot \sqrt{3 ^{3 } }$
$\left( \sqrt[3 ]{\frac{42 }{13 } } \div \sqrt[3 ]{\frac{91 }{36 } } \right) \div \sqrt{13 }$ , $\sqrt[3 ]{\frac{3 }{4 } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{25 }{24 } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{5 }{2 } }$ R. $\frac{5 }{4 }$ , $\sqrt[3 ]{5 + \frac{1 }{3 } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{4 }{3 } }$
$\sqrt[5 ]{2 ^{3 } } \cdot \sqrt[10 ]{2 ^{4 } }$ R. 2, $\sqrt{15 } \cdot \sqrt{30 } \cdot \sqrt{8 }$ R. 60, $\sqrt{2 } \cdot \sqrt{3 }$
$\sqrt[3 ]{- 1 - \frac{1 }{2 } } \div \sqrt{1 - \frac{1 }{2 } } \cdot \sqrt[6 ]{12 }$ , $\sqrt[3 ]{1 + \frac{1 }{2 } } \cdot \sqrt[4 ]{2 + \frac{1 }{4 } }$ R. $\sqrt[6 ]{\frac{3 ^{5 } }{2 ^{5 } } }$
$\sqrt[3 ]{4 a } \cdot \sqrt[3 ]{9 a } \cdot \sqrt[3 ]{12 a }$ , $\sqrt{3 a } \div \sqrt{\frac{1 }{5 } a }$ R. $\sqrt{15 }$
$\sqrt[3 ]{2 ab } \cdot \sqrt[3 ]{4 a ^{2 } b ^{2 } }$ R. 2ab, $\sqrt{x } \cdot \sqrt[3 ]{x ^{2 } } \div \sqrt[6 ]{x }$
$\sqrt{\frac{1 }{a ^{4 } } } \cdot \sqrt{\frac{a ^{6 } b }{2 } } \div \sqrt{\frac{2 b }{a } }$ , $\sqrt{\frac{4 }{9 } } \cdot \sqrt{\frac{3 }{2 } a } \div \sqrt[6 ]{3 a }$ R. $\sqrt[6 ]{\frac{2 ^{3 } a ^{2 } }{3 ^{4 } } }$
$\sqrt[3 ]{a x } \cdot \sqrt{x y } \cdot \sqrt[5 ]{a y }$ , $\sqrt[3 ]{( x + 1 ) ^{2 } } \div \sqrt{x - 1 }$ R. $\sqrt[6 ]{\frac{( x + 1 ) ^{4 } }{( x - 1 ) ^{3 } } }$
$\sqrt{a ^{2 } - b ^{2 } } \div \sqrt{a + b }$ R. $\sqrt{a - b }$ , $\sqrt{a ^{2 } - 3 a } \cdot \sqrt[3 ]{a ^{2 } } \cdot \sqrt[6 ]{a ^{5 } }$
$\sqrt{\frac{1 - x }{1 + x } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{1 - x ^{2 } }{1 + x ^{2 } } }$ R. $\sqrt[6 ]{\frac{( 1 - x ) ^{4 } }{( 1 + x ) ( 1 + x ^{2 } ) ^{2 } } }$ , $\sqrt{\frac{a + b }{a - b } } \div \sqrt[3 ]{\frac{a + b }{a - b } }$
$\sqrt{\frac{a ^{2 } + 2 a + 1 }{2 a } } \cdot \sqrt{\frac{1 + a }{a ^{2 } } } \div \sqrt{\frac{2 }{a } }$ , $\sqrt{\frac{a + 1 }{a - 3 } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{a ^{2 } - 9 }{a ^{2 } - 1 } }$ R. $\sqrt[6 ]{\frac{( a + 1 ) ( a + 3 ) ^{2 } }{( a - 3 ) ( a - 1 ) ^{2 } } }$
$\sqrt{\frac{x + 1 }{x - 2 } } \cdot \sqrt{\frac{x - 1 }{x + 3 } } \div \sqrt[3 ]{\frac{x ^{2 } - 1 }{x ^{2 } + x - 6 } }$ R $\sqrt[6 ]{\frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) }{( x - 2 ) ( x + 3 ) } }$ , $\sqrt{a ^{4 } b } \cdot \sqrt[6 ]{\frac{a ^{2 } }{b } }$
$\sqrt[3 ]{\frac{a ^{2 } - 2 }{a + 3 } } \cdot \sqrt[4 ]{\frac{a + 3 }{a - 2 } }$ , $\sqrt{\frac{x }{y } - \frac{y }{x } } \div \sqrt{x + y }$ R. $\sqrt{\frac{x - y }{x y } }$
$\sqrt{\frac{1 }{b ^{2 } } - \frac{1 }{a ^{2 } } } \div \sqrt{\frac{1 }{b } - \frac{1 }{a } }$ R. $\sqrt{\frac{a + b }{ab } }$ , $\frac{\sqrt{4 a ^{2 } - 9 } \cdot \sqrt{2 a - 3 } }{\sqrt[3 ]{2 a + 3 } }$
$\sqrt{\frac{9 - a ^{2 } }{( a + 3 ) ^{2 } } } \cdot \sqrt{\frac{27 + 9 a }{3 - a } }$ , $\sqrt{\frac{a + 2 }{a - 1 } } \div \sqrt[3 ]{\frac{( a - 1 ) ^{2 } }{a ^{2 } + 4 a + 4 } }$ R. $\sqrt[6 ]{\frac{( a + 2 ) ^{7 } }{( a - 1 ) ^{7 } } }$
$\sqrt{\frac{x ^{2 } - 4 }{x + 1 } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{1 }{x ^{3 } - 2 x ^{2 } } }$ R. $\sqrt[6 ]{\frac{x + 2 }{x ^{2 } ( x + 1 ) } }$ , $\sqrt[4 ]{\frac{a + b }{a ^{2 } - b ^{2 } } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{a - 2 b }{a + 2 b } } \cdot \sqrt[6 ]{a ^{2 } - 4 b ^{2 } }$
$\sqrt{\frac{a ^{2 } b + a b ^{2 } }{x y } } \cdot \sqrt[6 ]{\frac{( a + b ) ^{2 } }{x ^{2 } } } \cdot \sqrt[6 ]{\frac{x ^{2 } y ^{3 } }{( a + b ) ^{2 } } } \cdot \sqrt[4 ]{\frac{x }{a ^{3 } b ^{2 } + a ^{2 } b ^{3 } } }$ R. $\sqrt[4 ]{\frac{a + b }{x } }$
$\frac{\sqrt{\frac{x }{y } + \frac{y }{x } } \div \sqrt[3 ]{\frac{x }{y } - \frac{1 }{x } } }{\sqrt{\frac{xy }{x + y } } }$

Portare uno o più fattori fuori dal segno di radice¶

Trasporta dentro la radice i fattori esterni, discutendo i casi letterali

$2 \sqrt{2 }$ R. $\sqrt{2 ^{3 } }$ , $3 \sqrt{3 }$ , $2 \sqrt{3 }$ , $3 \sqrt{2 }$ , $\frac{1 }{2 } \sqrt{2 }$ , $\frac{1 }{3 } \sqrt{3 }$
$\frac{1 }{2 } \sqrt{6 }$ R. $\sqrt{\frac{3 }{4 } }$ , $\frac{2 }{3 } \sqrt{6 }$ , $\frac{3 }{4 } \sqrt{\frac{3 }{2 } }$ , $2 \sqrt[3 ]{2 }$ , $\frac{1 }{3 } \sqrt[3 ]{3 }$ , $4 \sqrt[3 ]{\frac{1 }{2 } }$
$- 3 \sqrt{3 }$ , $- 2 \sqrt[3 ]{2 }$ , $\frac{- 1 }{2 } \sqrt[3 ]{4 }$ , $\frac{- 1 }{5 } \sqrt{5 }$ R. $- \sqrt[3 ]{\frac{1 }{2 } }$ , $- \frac{1 }{3 } \sqrt[3 ]{9 }$ , $\left( 1 + \frac{1 }{2 } \right) \cdot \sqrt{2 }$
$x \sqrt{\frac{1 }{5 } }$ , $x ^{2 } \sqrt[3 ]{x }$ R. $\sqrt[3 ]{x ^{7 } }$ , $a \sqrt{2 }$ , $x ^{2 } \sqrt[3 ]{3 }$ , $2 a \sqrt{5 }$ , $a \sqrt{- a }$
$( a - 1 ) \sqrt{a }$ R. $\sqrt{( a - 1 ) ^{2 } a }$ , $( x - 2 ) \sqrt{\frac{1 }{2 x - 4 } }$ , $x \sqrt{\frac{1 }{x ^{2 } + x } }$
$\frac{a + 1 }{a + 2 } \sqrt{\frac{a ^{2 } + 3 a + 2 }{a ^{2 } + 4 a + 3 } }$ , $\frac{2 }{x } \sqrt{\frac{x ^{2 } + x }{x - 1 } - x }$ , $\frac{1 }{x - 1 } \sqrt{x ^{2 } - 1 }$

Semplifica i radicali portando fuori tutti i fattori possibili, facendo attenzione al valore assoluto

$\sqrt{250 }$ R. $5 \sqrt{10 }$ , $\sqrt{486 }$ R. $9 \sqrt{6 }$
$\sqrt{864 }$ R. $12 \sqrt{6 }$ , $\sqrt{3456 }$ R. $24 \sqrt{6 }$
$\sqrt{20 }$ , $\sqrt{0,12 }$ , $\sqrt{45 }$ , $\sqrt{48 }$
$\sqrt{98 }$ , $\sqrt{50 }$ , $\sqrt{300 }$ R. $10 \sqrt{3 }$ , $\sqrt{27 }$
$\sqrt{75 }$ , $\sqrt{40 }$ , $\sqrt{12 }$ , $\sqrt{80 }$
$\sqrt{\frac{18 }{80 } }$ , $\sqrt{\frac{9 }{4 } + \frac{4 }{9 } }$ R. $\frac{1 }{6 } \sqrt{97 }$ , $\sqrt{1 - \frac{9 }{25 } }$ , $\sqrt{\frac{10 }{3 } + \frac{2 }{9 } }$
$\frac{2 }{5 } \sqrt{\frac{50 }{4 } }$ , $\frac{3 }{2 } \sqrt{\frac{8 }{27 } }$ , $\frac{5 }{7 } \sqrt{\frac{98 }{75 } }$ R. $\sqrt{\frac{2 }{3 } }$ , $\frac{1 }{5 } \sqrt{\frac{1000 }{81 } }$
$\sqrt[3 ]{250 }$ , $\sqrt[3 ]{24 }$ , $\sqrt[3 ]{108 }$ , $\sqrt[4 ]{32 }$
$\sqrt[4 ]{48 }$ , $\sqrt[4 ]{250 }$ , $\sqrt[5 ]{96 }$ , $\sqrt[5 ]{160 }$
$\sqrt{x ^{2 } y }$ , $\sqrt{\frac{a ^{5 } }{b ^{2 } } }$ , $\sqrt{\frac{a ^{2 } b ^{3 } c ^{3 } }{d ^{9 } } }$ , $\sqrt{4 a x ^{2 } }$
$\sqrt{9 a ^{2 } b }$ R. $3 \left\lvert a \right\rvert \sqrt{b }$ C.E.b>=0, $\sqrt{2 a ^{2 } x }$ , $\sqrt{x ^{3 } }$ , $\sqrt{a ^{7 } }$
$\sqrt[3 ]{16 a ^{3 } x ^{4 } }$ , $\sqrt[3 ]{4 a ^{4 } b ^{5 } }$ , $\sqrt[3 ]{27 a ^{7 } b ^{8 } }$ , $\sqrt{18 a ^{6 } b ^{5 } c ^{7 } }$
$\sqrt{a ^{2 } + a ^{3 } }$ , $\sqrt{4 x ^{4 } - 4 x ^{2 } }$ R. $\left\lvert 2 x \right\rvert \sqrt{} x ^{2 } - 1$ C.E. $x \leq 1 \vee x \geq 1$ , $\sqrt{25 x ^{7 } - 25 x ^{5 } }$ , $\sqrt[3 ]{3 a ^{5 } b ^{2 } c ^{9 } }$
$\sqrt[4 ]{16 a ^{4 } b ^{5 } c ^{7 } x ^{6 } }$ , $\sqrt[5 ]{64 a ^{4 } b ^{5 } c ^{6 } d ^{7 } }$ , $\sqrt[6 ]{a ^{42 } b ^{57 } }$ , $\sqrt[7 ]{a ^{71 } b ^{82 } }$
$\sqrt{a ^{3 } } + \sqrt{a ^{5 } } + \sqrt{a ^{7 } }$ R. $( a + a ^{2 } + a ^{3 } ) \sqrt{a }$

Potenza di radice e radice di radice¶

Esegui le seguenti potenze di radici

$\left( \sqrt{3 } \right) ^{2 }$ , $\left( \sqrt[3 ]{2 } \right) ^{3 }$ , $\left( \sqrt{4 } \right) ^{2 }$ , $\left( \sqrt[4 ]{2 } \right) ^{6 }$ R. $\sqrt{2 ^{3 } }$
$\left( 2 \sqrt{3 } \right) ^{2 }$ , $\left( 3 \sqrt{5 } \right) ^{2 }$ , $\left( 5 \sqrt{2 } \right) ^{2 }$ R. 50, $\left( - 2 \sqrt{5 } \right) ^{2 }$
$\left( \frac{1 }{2 } \sqrt{2 } \right) ^{2 }$ , $\left( \frac{2 }{3 } \sqrt[4 ]{\frac{2 }{3 } } \right) ^{2 }$ , $\left( a \sqrt{2 a } \right) ^{2 }$ R. $2 a ^{3 }$ , $\left( \frac{1 }{a } \sqrt{a } \right) ^{2 }$
$\left( 2 \sqrt[3 ]{3 } \right) ^{3 }$ , $\left( 3 \sqrt[3 ]{3 } \right) ^{3 }$ , $\left( \frac{1 }{3 } \sqrt[3 ]{3 } \right) ^{3 }$ R $\frac{1 }{9 }$ , $\left( \frac{1 }{9 } \sqrt[3 ]{9 } \right) ^{3 }$
$\left( \sqrt{3 } \right) ^{3 }$ , $\left( 2 \sqrt{5 } \right) ^{3 }$ , $\left( 3 \sqrt{2 } \right) ^{3 }$ , $\left( \sqrt[3 ]{2 } \right) ^{6 }$
$\left( \sqrt[3 ]{3 } \right) ^{6 }$ , $\left( \sqrt[3 ]{5 } \right) ^{5 }$ , $\left( \sqrt[3 ]{2 } \right) ^{6 }$ , $\left( \sqrt[6 ]{3 } \right) ^{4 }$
$\left( \sqrt[6 ]{3 a b ^{2 } } \right) ^{4 }$ , $\left( \sqrt[4 ]{16 a ^{2 } b ^{3 } } \right) ^{2 }$ R. $\sqrt{2 ^{4 } a ^{2 } \left\lvert b ^{3 } \right\rvert }$ , $\left( \sqrt[3 ]{6 a ^{3 } b ^{2 } } \right) ^{4 }$ , $\left( \sqrt[3 ]{81 a b ^{4 } } \right) ^{4 }$

Esegui le seguenti radici di radici

$\sqrt[3 ]{\sqrt{2 } }$ , $\sqrt[3 ]{\sqrt[3 ]{16 } }$ , $\sqrt[3 ]{\sqrt[4 ]{15 } }$ , $\sqrt[5 ]{\sqrt{a ^{5 } } }$
$\sqrt{\sqrt{16 } }$ , $\sqrt{\sqrt{\sqrt{3 } } }$ , $\sqrt[5 ]{\sqrt{a ^{10 } } }$ , $\sqrt[3 ]{\sqrt{\sqrt[3 ]{a ^{12 } } } }$ R. $\sqrt[3 ]{a ^{2 } }$
$\sqrt{\sqrt[3 ]{3 a } }$ , $\sqrt{\sqrt[4 ]{3 a b } }$ , $\sqrt[3 ]{\sqrt{( a + 1 ) ^{5 } } }$ , $\sqrt[4 ]{\sqrt{( 2a ) ^{5 } } }$
$\sqrt{2 ( a - b ) } \cdot \sqrt{\sqrt[3 ]{\frac{1 }{4 a - 4 b } } }$ , $\sqrt{3 ( a + b ) } \cdot \sqrt{\sqrt[3 ]{\frac{1 }{3 a + 3 b } } }$ R. $\sqrt[3 ]{3 ( a + b ) }$ C.E. $a > b$ .

Somma di radicali¶

Esegui le seguenti operazioni con radicali

$3 \sqrt{2 } + \sqrt{2 }$ , $\sqrt{3 } - 3 \sqrt{3 }$
$8 \sqrt{6 } - 3 \sqrt{6 }$ R. $5 \sqrt{6 }$ , $\sqrt{5 } - 3 \sqrt{5 } + 7 \sqrt{5 }$
$3 \sqrt{2 } + 2 \sqrt{2 } - 3 \sqrt{2 }$ , $2 \sqrt{7 } - 7 \sqrt{7 } + 4 \sqrt{7 }$ R. $- \sqrt{7 }$
$11 \sqrt{5 } + 6 \sqrt{2 } - ( 8 \sqrt{5 } + 3 \sqrt{2 } )$ R. $3 ( \sqrt{5 } + 3 \sqrt{2 } )$
$5 \sqrt{3 } + 3 \sqrt{7 } - [ 2 \sqrt{3 } - ( 4 \sqrt{7 } - 3 \sqrt{3 } ) ]$ R. $7 \sqrt{7 }$
$\sqrt{2 } + \frac{1 }{2 } \sqrt{2 } - \frac{3 }{4 } \sqrt{2 }$ , $\frac{\sqrt{3 } }{2 } - \frac{\sqrt{3 } }{3 } + \frac{\sqrt{3 } }{4 }$
$3 \sqrt{5 } + \frac{2 }{3 } \sqrt{2 } - \frac{5 }{6 } \sqrt{2 }$ R. $\sqrt{5 } - \frac{1 }{6 } \sqrt{2 }$
$5 \sqrt{10 } - \left( 6 + 4 \sqrt{19 } \right) + 2 - \sqrt{10 }$ , $\sqrt{5 } + \sqrt{2 } + 3 \sqrt{2 } - 2 \sqrt{2 }$
$- 3 \sqrt{7 } + 4 \sqrt{2 } + \sqrt{3 } - 5 \sqrt{7 } + 8 \sqrt{3 }$ , $3 \sqrt{3 } + 5 \sqrt{5 } + 6 \sqrt{6 } - 7 \sqrt{3 } - 8 \sqrt{5 } - 9 \sqrt{6 }$
$\sqrt[3 ]{2 } + 3 \sqrt[3 ]{2 } - 2 \sqrt{2 } + 3 \sqrt{2 }$ , $5 \sqrt{6 } + 3 \sqrt[4 ]{6 } - 2 \sqrt[4 ]{6 } + 3 \sqrt[3 ]{6 } - 2 \sqrt{6 }$
$\sqrt{75 } + 3 \sqrt{18 } - 2 \sqrt{12 } - 2 \sqrt{50 }$ R. $\sqrt{3 } - \sqrt{2 }$
$3 \sqrt{128 } - 2 \sqrt{72 } - ( 2 \sqrt{50 } + \sqrt{8 } )$ R. 0
$3 \sqrt{48 } + 2 \sqrt{32 } + \sqrt{98 } - ( 4 \sqrt{27 } + \sqrt{450 } )$ R. 0
$\sqrt[4 ]{162 } - \sqrt[4 ]{32 } + 5 \sqrt[3 ]{16 } - \sqrt[3 ]{54 } + \sqrt[3 ]{250 }$ R. $\sqrt[4 ]{2 } + 12 \sqrt[3 ]{2 }$
$2 \sqrt[3 ]{54 } - \sqrt[4 ]{243 } + 3 \sqrt[4 ]{48 } - \sqrt[3 ]{250 }$ R. $\sqrt[3 ]{2 } + 3 \sqrt[4 ]{3 }$
$\sqrt{\frac{32 }{25 } } - \sqrt{\frac{108 }{25 } } + \sqrt{\frac{27 }{49 } } + \frac{2 }{5 } \sqrt{\frac{3 }{4 } } - \sqrt{\frac{8 }{9 } }$ R. $\frac{2 }{15 } \sqrt{2 } - \frac{4 }{7 } \sqrt{3 }$
$2 \sqrt{\frac{27 }{8 } } + 5 \sqrt{\frac{3 }{50 } } + 7 \sqrt{\frac{27 }{98 } } - 5 \sqrt{\frac{147 }{50 } }$ R. 0
$\frac{1 }{2 } \sqrt{a } - \frac{4 }{5 } \sqrt{b } - \sqrt{a } + 0,4 \sqrt{b }$ R. $- \frac{1 }{2 } \sqrt{a } - \frac{2 }{5 } \sqrt{b }$
$6 \sqrt{ab } - 3 \sqrt{a } - 7 \sqrt{ab } + 2 \sqrt{a } + 9 \sqrt{b } + \sqrt{a }$ R. $9 \sqrt{b } - \sqrt{ab }$
$\sqrt[3 ]{a - b } + \sqrt[3 ]{a ^{4 } - a ^{3 } b } - \sqrt[3 ]{ab ^{3 } - b ^{4 } }$ R. $( 1 + a - b ) \sqrt[3 ]{a - b }$
$3 \sqrt{x } - 5 \sqrt{x }$ $2 \sqrt[3 ]{x ^{2 } } + 3 \sqrt{x } + 3 \sqrt[3 ]{x ^{2 } } - 2 \sqrt{x }$
$\sqrt{a - b } + \sqrt{a + b } - \sqrt{a - b } + 2 \sqrt{a + b }$ , $\frac{1 }{3 } \sqrt{x } - \frac{4 }{5 } \sqrt{x } + 0,4 \sqrt{a } - \frac{1 }{2 } \sqrt{a }$
$2 a \sqrt{2 a } - 7 a \sqrt{2 a } + 3 a \sqrt{2 a } - \frac{1 }{2 } \sqrt{a }$ , $3 \sqrt{x y } + 3 \sqrt{x } - 3 \sqrt{y } + 2 \sqrt{x y } - 3 \left( \sqrt{x } + \sqrt{y } \right)$
$\left( \sqrt{2 } + 1 \right) \left( \sqrt{2 } + 2 \right)$ , $\left( 3 \sqrt{2 } - 1 \right) \left( 2 \sqrt{2 } - 3 \right)$
$\left( \sqrt{2 } - 1 \right) \left( \sqrt{2 } + 1 \right)$ , $( \sqrt{2 } - 3 \sqrt{3 } ) \cdot ( 3 \sqrt{3 } - \sqrt{2 } )$
$\left( \sqrt{3 } + 1 \right) ^{2 }$ R. $4 + 2 \sqrt{3 }$ , $\left( \sqrt{3 } - 2 \right) ^{2 }$ R. $7 - 4 \sqrt{3 }$
$\left( 2 + \sqrt{5 } \right) ^{2 }$ R. $9 + 4 \sqrt{5 }$ , $\left( 4 - \sqrt{3 } \right) ^{2 }$ R. $19 - 8 \sqrt{3 }$
$\left( 6 + 2 \sqrt{3 } \right) ^{2 }$ R. $48 + 24 \sqrt{3 }$ , $\left( \sqrt{6 } - \frac{1 }{2 } \sqrt{3 } \right) ^{2 }$ R. $\frac{27 }{4 } - \sqrt{18 }$
$\left( \sqrt{2 } - 1 \right) ^{2 }$ , $\left( 2 \sqrt{2 } - 1 \right) ^{2 }$
$\left( \sqrt{3 } + 1 \right) ^{2 }$ , $\left( \sqrt{3 } - 3 \right) ^{2 }$
$\left( \sqrt{5 } - 2 \right) ^{2 }$ , $\left( 2 \sqrt{5 } + 3 \right) ^{2 }$
$\left( 2 \sqrt{7 } - \sqrt{5 } \right) ^{2 }$ , $\left( 3 \sqrt{2 } - 2 \sqrt{3 } \right) ^{2 }$
$\left( \sqrt{2 } - 3 \sqrt{3 } \right) ^{2 }$ , $\left( 1 + \sqrt{2 } + \sqrt{3 } \right) ^{2 }$
$\left( \sqrt{2 } - 1 - \sqrt{5 } \right) ^{2 }$ R. $8 - 2 \sqrt{2 } - 2 \sqrt{10 } + 2 \sqrt{5 }$
$\left( \sqrt{3 } - 2 \sqrt{2 } + 1 \right) ^{2 }$ . $\left( \sqrt{2 } + \sqrt{3 } + \sqrt{6 } \right) ^{2 }$
$\left( \sqrt[3 ]{2 } - 1 \right) ^{3 }$ R. $1 - 3 \sqrt[3 ]{4 } + 3 \sqrt[3 ]{2 }$
$\left( \sqrt[3 ]{3 } + 1 \right) ^{3 }$ , $\left( \sqrt[3 ]{2 } - 2 \right) ^{3 }$
$\left( \sqrt[3 ]{3 } + \sqrt[3 ]{2 } \right) ^{3 }$ , $\left( \sqrt[3 ]{3 } + \sqrt[3 ]{2 } \right) \left( \sqrt[3 ]{9 } - \sqrt[3 ]{4 } \right)$
$\left[ \left( \sqrt[4 ]{2 } + 1 \right) \left( \sqrt[4 ]{2 } - 1 \right) \right] ^{2 }$ , $\left( \sqrt[3 ]{2 } + \sqrt[3 ]{3 } \right) \left( \sqrt[3 ]{4 } - \sqrt[3 ]{6 } + \sqrt[3 ]{9 } \right)$
$\left( \sqrt{3 } + \sqrt{3 } \right) \cdot \sqrt{3 } \cdot \sqrt{3 }$ , $3 \sqrt{3 } + \sqrt{3 } \div \sqrt{3 } - \left( 1 + \sqrt{3 } \right) ^{2 }$
$6 \sqrt{5 } + 2 \sqrt{5 } \cdot \sqrt{20 } - 3 \sqrt{5 } + \sqrt{25 }$ R. $3 \sqrt{5 } + 25$ , $\left( \sqrt[3 ]{a } - \sqrt[3 ]{2 } \right) \left( \sqrt[3 ]{a ^{2 } } + \sqrt[3 ]{2 a } + \sqrt[3 ]{4 } \right)$
$\left( 1 + \sqrt{2 } \right) ^{2 }$ , $\left( 2 - \sqrt{2 } \right) ^{2 }$
$\left( \sqrt{2 } + \sqrt{3 } \right) ^{2 }$ , $\left( 2 \sqrt{2 } - 1 \right) ^{2 }$
$\left( 3 \sqrt{3 } + 2 \sqrt{2 } \right) ^{2 }$ , $\left( \sqrt{3 } - 2 \sqrt{2 } \right) ^{2 }$
$\left( 4 \sqrt{3 } - 3 \sqrt{7 } \right) ^{2 }$ , $\left( 2 \sqrt{2 } - 3 \sqrt{3 } \right) ^{2 }$ R. $- 19 - 12 \sqrt{6 }$
$\left( \sqrt{x } - 1 \right) ^{2 }$ , $\left( 2 x + \sqrt{x } \right) ^{2 }$
$\left( x + \sqrt[3 ]{x } \right) ^{3 }$ , $\left( 2 x + \sqrt{x } \right) \left( 2 x - \sqrt{x } \right)$
$\left( \sqrt{a } + \frac{1 }{\sqrt{a } } \right) ^{2 }$ R. $a + 2 + \frac{1 }{a }$ , $\left( \sqrt{a } + \frac{1 }{a } \right) \left( \sqrt{a } - \frac{1 }{a } \right)$
$( \sqrt{x } + \sqrt{y } ) ( \sqrt{x } - \sqrt{y } )$ R. $x - y$
$\left( \sqrt{2 } - 1 \right) ^{2 } - \left( 2 \sqrt{2 } - 1 \right) ^{2 } + \left( \sqrt{2 } - 1 \right) \left( \sqrt{2 } + 1 \right)$
$\left( \sqrt{3 } + 1 \right) ^{2 } + \sqrt{3 } \left( \sqrt{3 } - 3 \right) - 2 \left( \sqrt{3 } + 3 \right) \left( \sqrt{3 } - 3 \right)$
$\left( \sqrt{3 } - 3 \right) ^{2 } + \left( \sqrt{3 } - 3 \right) ^{3 } + 2 \sqrt{27 } - \sqrt{3 } \left( 2 \sqrt{3 } - 2 \right)$
$\left( \sqrt{5 } - 2 \right) ^{2 } - \left( 2 \sqrt{5 } + 3 \right) ^{2 } + \left[ \left( \sqrt{5 } - \sqrt{2 } \right) ^{2 } + 1 \right] \left( \sqrt{5 } + \sqrt{2 } \right)$
$\left( 2 \sqrt{7 } - \sqrt{5 } \right) ^{2 } + 2 \left( \sqrt{7 } + \sqrt{5 } + 1 \right) ^{2 } - \sqrt{35 }$
$\left( \sqrt{2 } + 1 \right) ^{2 } + \left( \sqrt{2 } - 1 \right) ^{2 }$ R. 6
$\left( 2 \sqrt{2 } - 3 \sqrt{3 } \right) \left( 3 \sqrt{2 } + 2 \sqrt{3 } \right)$
$\left( \sqrt{x } - 1 \right) ^{2 } + \left( 2 \sqrt{x } + 1 \right) \left( \sqrt{x } - 2 \right)$
$\left( \sqrt{2 } - 1 \right) ^{3 } + \left( \sqrt{2 } - 1 \right) ^{2 } \sqrt{2 } - 1$
$2 \sqrt{54 } - \sqrt[4 ]{243 } + 3 \sqrt[4 ]{48 } - \sqrt[3 ]{250 }$
$\left( \sqrt{10 } - \sqrt{7 } \right) \left( 2 \sqrt{10 } + 3 \sqrt{7 } \right)$
$\sqrt{48 x ^{2 } y } + 5 x \sqrt{27 y }$
$\sqrt{5 } \sqrt{15 } - 4 \sqrt{3 }$
$\left( \sqrt{7 } - \sqrt{5 } \right) \left( 2 \sqrt{7 } + 3 \sqrt{5 } \right)$
$\sqrt{27 a x ^{4 } } + 5 x ^{2 } \sqrt{75 a }$
$\sqrt{125 } + 3 \sqrt[6 ]{27 } - \sqrt{45 } - 2 \sqrt[4 ]{9 } + \sqrt{20 } + 7 \sqrt[8 ]{81 }$
$\sqrt[3 ]{a \sqrt{a } } \cdot \sqrt{a \sqrt[3 ]{a } } \cdot \sqrt[3 ]{a \sqrt[3 ]{a } } \cdot \sqrt[3 ]{a \sqrt{a } } \cdot \sqrt[9 ]{a ^{8 } }$
$\sqrt[5 ]{b \sqrt[3 ]{b ^{2 } } } \cdot \sqrt{b ^{2 } \sqrt{b \sqrt{b ^{2 } } } } \div \sqrt[5 ]{b ^{4 } \sqrt[3 ]{b ^{2 } } } \cdot \sqrt{b }$ R. $\sqrt[5 ]{b ^{7 } }$
$\sqrt[3 ]{\frac{x }{y ^{3 } } - \frac{1 }{y ^{2 } } } + \sqrt[3 ]{x y ^{3 } - y ^{4 } } - \sqrt[3 ]{8 x - 8 y }$
$\left( \sqrt{2 } + 3 \right) \cdot \left( 1 - \sqrt{3 } \right) ^{2 }$
$\left( \sqrt[3 ]{2 } + 3 \right) \cdot \left( 1 - \sqrt[3 ]{3 } \right) ^{2 }$
$\frac{\sqrt{a } }{\sqrt{a } + 1 } \cdot \frac{\sqrt{a } }{\sqrt{a } - 1 }$
$\sqrt[5 ]{b \sqrt[3 ]{b ^{2 } } } \cdot \sqrt{b \sqrt{b \sqrt{b ^{2 } } } } \div \left( \sqrt[5 ]{b \sqrt[3 ]{b ^{2 } } } \cdot \sqrt{b } \right)$ R. $\sqrt{b }$
$\sqrt{\frac{4a ^{2 } - b ^{2 } }{a ^{2 } - b ^{2 } } } \sqrt{\frac{a - b }{2a + b } }$
$\sqrt{\frac{9a }{b } } \sqrt{\frac{b ^{2 } - 2b }{3ab - 6a } }$
$\sqrt{\frac{9a ^{2 } - 6ab + b ^{2 } }{a ^{2 } - b ^{2 } } } \sqrt{\frac{a + b }{3a - b } }$
$\sqrt{\frac{x - y }{x + y } } \sqrt{\frac{x ^{2 } + 2xy + y ^{2 } }{x ^{2 } - y ^{2 } } }$
$\sqrt[3 ]{\frac{a }{a + 3 } \sqrt{\frac{a }{a + 3 } \sqrt{\frac{a }{a + 3 } } } } \div \sqrt{\frac{a }{a + 3 } }$ R. $\sqrt[12 ]{\frac{a }{a + 3 } }$
$\sqrt{\frac{x - 1 }{x + 1 } \sqrt{\frac{x - 1 }{x + 1 } \sqrt{\frac{1 }{x ^{2 } - 31 } } } } \cdot \sqrt[4 ]{x + 1 }$ R. $\sqrt[8 ]{\left( \frac{x - 1 }{x + 1 } \right) ^{5 } }$
$\sqrt{\frac{a ^{2 } - 2 a + 1 }{a ( a + 1 ) ^{3 } } } \cdot \sqrt[4 ]{\frac{a ^{2 } }{( a + 1 ) ^{2 } } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{( a + 1 ) ^{3 } }{( a - 1 ) ^{2 } } }$ R. $\sqrt[3 ]{\frac{a - 1 }{( a + 1 ) ^{3 } } }$
$\left( \sqrt{\frac{1 }{b ^{4 } } + \frac{1 }{b ^{2 } } } + \sqrt{\frac{ab ^{5 } + ab ^{4 } }{a } } - 2 \sqrt{b + 1 } \right) \cdot \frac{b ^{2 } }{( b + 1 ) ^{2 } }$ R. $( b - 1 ) ^{2 } \sqrt{b + 1 }$
$\left( \sqrt[3x ]{y ^{x } \sqrt[4x ]{y } } + \sqrt[6 ]{y ^{2 } \sqrt[2x ^{2 } ]{y } } \right) \cdot \sqrt[3 ]{y \sqrt[4x ^{2 } ]{\frac{1 }{y } } }$ R. $2 \sqrt[3 ]{y ^{2 } }$
$\sqrt[4 ]{\frac{b ^{2 } - 1 }{b } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{3b - 3 }{6 b ^{2 } } } \div \sqrt[6 ]{\frac{( b - 1 ) ^{4 } }{4 b ^{5 } } }$ R. $\sqrt[12 ]{\frac{( b + 1 ) ^{3 } }{b ( b - 1 ) } }$
$\sqrt[3 ]{\frac{a ^{2 } + 2 a + 1 }{ab - b } } \cdot \sqrt[6 ]{\frac{a ^{2 } - 2 a + 1 }{ab + b } } \cdot \sqrt[4 ]{\frac{b ^{2 } ( a - 1 ) ^{2 } }{2 a ^{2 } + 4 a + 2 } }$ R. $\sqrt[4 ]{\frac{( a - 1 ) ^{2 } }{2 } }$
$\sqrt[3 ]{\frac{x ^{2 } + 2 xy + y ^{2 } }{x + 3 } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{5 x }{x ^{2 } + 6 x + 9 } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{x + y }{5 x } }$ R. $\frac{x + y }{x + 3 }$
$\sqrt[3 ]{\frac{x ^{2 } - x }{x + 1 } } \cdot \sqrt[15 ]{\frac{x ^{2 } + 2 x + 1 }{x ^{2 } - 2 x + 1 } } \div \sqrt[5 ]{\frac{x - 1 }{x + 1 } }$ R. $\sqrt[3 ]{x }$
$\sqrt{\frac{25 x ^{3 } + 25 x ^{2 } }{y ^{3 } - y ^{2 } } } + \sqrt{\frac{x ^{3 } + x ^{2 } }{y ^{3 } - y ^{2 } } } - x \sqrt{\frac{4x + 4 }{y ^{3 } - y ^{2 } } }$
$\left( \sqrt{\frac{1 }{y ^{4 } } + \frac{1 }{y ^{3 } } } + \sqrt{\frac{x y ^{5 } + x y ^{4 } }{x } } - 2 \sqrt{y + 1 } \right) \div \frac{( y + 1 ) ^{2 } }{y ^{2 } }$ R. $( y - 1 ) ^{2 } \sqrt{y + 1 }$
$\sqrt[4 ]{\frac{a ^{2 } - a }{( a + 1 ) ^{2 } } } \cdot \sqrt[12 ]{\frac{a ^{2 } - 2 a + 1 }{( a - 1 ) ^{7 } } } \div \sqrt[3 ]{\frac{2 a ^{2 } - 2 a + 1 }{a ^{3 } - a ^{2 } } - \frac{1 }{a - 1 } }$ R. $\sqrt[12 ]{\frac{a ^{11 } }{( a ^{2 } - 1 ) ^{6 } } }$
$\sqrt{\frac{a ^{2 } b + a b ^{2 } }{x y } } \cdot \sqrt[6 ]{\frac{( a + b ) ^{2 } }{x ^{2 } } } \cdot \sqrt[6 ]{\frac{x ^{2 } y ^{3 } }{( a + b ) ^{2 } } \cdot \sqrt[4 ]{\frac{x }{a ^{3 } b ^{2 } + a ^{2 } b ^{3 } } } }$ R. $\sqrt[24 ]{\frac{a ^{10 } b ^{10 } ( a + b ) ^{11 } }{x ^{11 } } }$
$\sqrt[6 ]{\frac{1 }{x } + 4 x - 4 } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{1 }{x } + 4 x + 4 } \cdot \sqrt{\frac{x }{4 x ^{2 } - 1 } }$ R. $\sqrt[6 ]{\frac{2 x + 1 }{2 x - 1 } }$
$\sqrt{\frac{a ^{2 } - 2 a + 1 }{a ( a + 1 ) ^{3 } } } \cdot \sqrt[4 ]{\frac{a ^{2 } }{( a + 1 ) ^{2 } } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{( a + 1 ) ^{2 } }{( a - 1 ) ^{2 } } }$ R. $\sqrt[3 ]{\frac{a - 1 }{( a + 1 ) ^{2 } } }$
$\left( \sqrt[3 ]{\frac{a }{3 } - 2 + \frac{3 }{a } } \cdot \sqrt[6 ]{\frac{9 a ^{2 } ( a + 3 ) ^{3 } }{( a - 3 ) ^{2 } } } \right) \div \sqrt{\frac{a ^{2 } - 9 }{3 a } }$ R. $\sqrt[6 ]{\frac{27 a ^{3 } }{a - 3 } }$
$\sqrt[4 ]{\frac{a ^{3 } - a ^{2 } }{( a + 1 ) ^{2 } } } \cdot \sqrt[12 ]{\frac{a ^{2 } - 2 a + 1 }{( a - 1 ) ^{7 } } } \cdot \sqrt[3 ]{\frac{2 a ^{2 } - 2 a + 1 }{a ^{3 } - a ^{2 } } - \frac{1 }{a - 1 } }$ R. $\sqrt[6 ]{\frac{a - 1 }{a ( a + 1 ) ^{3 } } }$
$\sqrt{1 - \frac{1 }{y } + \frac{1 }{4 y ^{2 } } } \div \left( \sqrt[6 ]{\frac{1 }{8 y ^{3 } + 12 y ^{2 } + 6 y + 1 } } \cdot \sqrt{1 - \frac{1 }{4 y ^{2 } } } \right)$ R. $\sqrt{2 y - 1 }$
$\sqrt[3 ]{1 - \frac{1 }{a } + \frac{1 }{4 a ^{2 } } } \div \left( \sqrt{1 - \frac{1 }{4 a ^{2 } } } \cdot \sqrt[6 ]{\frac{1 }{8 a ^{3 } + 12 a ^{2 } + 6 a + 1 } } \right)$ R. $\sqrt[6 ]{4 a ^{2 } ( 2 a - 1 ) }$
$\sqrt{\frac{1 }{5 a } + \frac{1 }{25 a ^{2 } } } + \sqrt{\frac{25 a ^{2 } - 1 }{20 a ^{3 } - 4 a ^{2 } } } - \sqrt{\frac{5 a + 1 }{100 a ^{2 } } }$ R. $\frac{3 }{5 a } \sqrt{5 a + 1 }$
$\sqrt[3 ]{\frac{x }{y ^{3 } } - \frac{1 }{y ^{2 } } } + \sqrt[3 ]{x y ^{3 } - y ^{4 } } - \sqrt[3 ]{8x - 8y }$ R. $\frac{( 1 - y ) ^{2 } }{y } \sqrt[3 ]{x - y }$
$\sqrt{\frac{x ^{2 } + xy + y ^{2 } }{4 x ^{2 } } } + \sqrt{\frac{4 x ^{3 } - 4 y ^{3 } }{x - y } } + \sqrt{4 x ^{4 } + 4 x ^{3 } y + 4 x ^{2 } y ^{2 } }$ R. $\frac{( 1 + 2x ) ^{2 } }{2x } \sqrt{x ^{2 } + xy + y ^{2 } }$
$\sqrt{\frac{a ^{3 } + 2 a ^{2 } + a }{a ^{2 } + 6 a + 9 } } + \sqrt{\frac{a ^{3 } + 4 a ^{2 } + 4 a }{a ^{2 } + 6 a + 9 } } - \sqrt{\frac{a ^{3 } }{a ^{2 } + 6 a + 9 } }$ R. $\sqrt{a }$
$\sqrt{4x - 12y } + \sqrt{\frac{x ^{3 } - 3x ^{2 } y }{y ^{2 } } } + \sqrt{\frac{xy ^{2 } - 3y ^{3 } }{x ^{2 } } }$ R. $\frac{( x + y ) ^{2 } }{xy } \sqrt{x - 3y }$
$\left( \sqrt[6 ]{\frac{1 }{x ^{2 } - 2 x + 1 } } + \sqrt[6 ]{\frac{64 a ^{6 } }{x ^{2 } - 2 x + 1 } } + \sqrt[6 ]{\frac{a ^{12 } }{x ^{2 } - 2 x + 1 } } \right) \cdot \sqrt[3 ]{x - 1 }$ R. $( 1 + a ) ^{2 }$
$\left( \sqrt[3x ]{y ^{x } \sqrt[4x ]{y } } + \sqrt[6 ]{y ^{2 } \sqrt[2x ^{2 } ]{y } } \right) \cdot \sqrt[4x ^{2 } ]{\frac{1 }{y } }$

Esegui le seguenti operazioni trasformando i radicali in potenze con esponente frazionario.

$\sqrt{a \sqrt[3 ]{a \sqrt[3 ]{a ^{2 } } } } \cdot \sqrt[3 ]{a \sqrt[3 ]{\frac{1 }{a } } } \div \sqrt{\frac{1 }{a } }$ R. $\sqrt{a ^{3 } }$
$\sqrt[5 ]{a \sqrt{a ^{3 } } } \cdot \sqrt{a \sqrt[7 ]{\frac{1 }{a ^{2 } } } } \div \sqrt[7 ]{a ^{4 } \sqrt{a } }$ R. $\sqrt[14 ]{a ^{3 } }$
$\sqrt[3 ]{a \sqrt{a } } \cdot \sqrt[3 ]{a \sqrt[3 ]{a } } \cdot \sqrt{a \sqrt[3 ]{a } } \cdot \sqrt[3 ]{a \sqrt{a } }$ R. $\sqrt[9 ]{a ^{19 } }$
$\sqrt[5 ]{b \sqrt[3 ]{b ^{2 } } } \cdot \sqrt{b ^{2 } \sqrt{b \sqrt{b ^{2 } } } } \div \sqrt[5 ]{b ^{4 } \sqrt[3 ]{b ^{2 } } } \cdot \sqrt{b }$ R. $\sqrt[5 ]{b ^{7 } }$

Razionalizzazione del denominatore di una frazione¶

Razionalizza i seguenti radicali

$\frac{1 }{\sqrt{3 } }$ , $\frac{2 }{\sqrt{2 } }$ , $\frac{5 }{\sqrt{10 } }$ , $\frac{10 }{\sqrt{5 } }$ R. $2 \sqrt{5 }$
$- \frac{2 }{\sqrt{3 } }$ , $\frac{4 }{2 \sqrt{2 } }$ , $\frac{3 }{\sqrt{27 } }$ . $\frac{4 }{\sqrt{8 } }$ R. $\sqrt{2 }$
$- \frac{10 }{5 \sqrt{5 } }$ , $\frac{2 }{3 \sqrt{6 } }$ R. $\frac{\sqrt{6 } }{9 }$ , $- \frac{3 }{4 \sqrt{5 } }$ , $\frac{1 }{\sqrt{50 } }$
$\frac{9 }{\sqrt{18 } }$ , $\frac{7 }{\sqrt{48 } }$ , $\frac{3 }{\sqrt{45 } }$ , $\frac{5 }{\sqrt{125 } }$
$\frac{6 }{5 \sqrt{120 } }$ , $\frac{1 }{3 \sqrt{20 } }$ , $\frac{\sqrt{2 } }{5 \sqrt{50 } }$ , $3 \frac{\sqrt{3 } }{2 \sqrt{324 } }$
$\frac{2 }{\sqrt{2 \sqrt{2 } } }$ , $\frac{a }{\sqrt{a } }$ , $\frac{x }{\sqrt{x } }$ , $\frac{a x }{\sqrt{2 a } }$
$\frac{2 a }{\sqrt{2 } }$ , $\frac{a }{2 \sqrt{a } }$ , $\frac{x }{3 \sqrt{2 x } }$ R. $\frac{\sqrt{2 x } }{6 }$ , $\frac{x ^{2 } }{a \sqrt{x } }$
$\frac{3 x }{\sqrt{12 x } }$ , $\frac{1 + \sqrt{2 } }{\sqrt{2 } }$ , $\frac{2 - \sqrt{2 } }{\sqrt{2 } }$ , $\frac{\sqrt{2 } + \sqrt{3 } }{\sqrt{3 } }$
$\frac{\sqrt{2 } - \sqrt{3 } }{\sqrt{6 } }$ , $\frac{\sqrt{3 } + 2 }{2 \sqrt{3 } }$ , $\frac{\sqrt{3 } - 1 }{3 \sqrt{3 } }$ , $\frac{\sqrt{6 } + 2 \sqrt{3 } }{\sqrt{3 } }$
$\frac{\sqrt{5 } - 5 \sqrt{2 } }{\sqrt{10 } }$ , $\frac{\sqrt{16 } + \sqrt{40 } }{\sqrt{8 } }$ , $\frac{\sqrt{10 } + \sqrt{20 } }{2 \sqrt{5 } }$ R. $\frac{\sqrt{2 } + 2 }{2 }$ , $\frac{9 - \sqrt{2 } }{\sqrt{2 } }$
$\frac{3 a - \sqrt{3 } }{2 \sqrt{5 } }$ , $\frac{a ^{2 } - b ^{2 } }{\sqrt{a + b } }$ , $\frac{\sqrt{x - y } }{\sqrt{x ^{2 } - y ^{2 } } }$ , $\frac{x }{\sqrt{2 x + 1 } }$
$\frac{1 }{\sqrt[3 ]{2 } }$ , $\frac{2 }{\sqrt[3 ]{4 } }$ , $\frac{3 }{\sqrt[3 ]{5 } }$ , $\frac{4 }{\sqrt[3 ]{6 } }$ R. $\frac{2 }{3 } \sqrt[3 ]{36 }$
$\frac{1 }{\sqrt[3 ]{2 } }$ , $\frac{2 }{\sqrt[3 ]{4 } }$ , $\frac{3 }{\sqrt[3 ]{5 } }$ , $\frac{4 }{\sqrt[3 ]{6 } }$
$\frac{2 }{3 \sqrt[3 ]{2 } }$ , $\frac{6 }{5 \sqrt[3 ]{100 } }$ , $\frac{2 }{\sqrt[5 ]{9 } }$ , $\frac{3 }{2 \sqrt[6 ]{27 } }$
$\frac{10 }{\sqrt[5 ]{125 } }$ , $\frac{16 }{\sqrt[3 ]{36 } }$ , $\frac{9 }{\sqrt[4 ]{2025 } }$ , $\frac{1 }{\sqrt[5 ]{144 } }$
$\frac{a b }{\sqrt[3 ]{a ^{2 } b } }$ , $\frac{a b ^{2 } }{\sqrt[3 ]{a b ^{2 } } }$ R. $\sqrt[3 ]{a ^{2 } b }$ , $\frac{3 a ^{2 } b }{\sqrt[4 ]{9 a b ^{3 } } }$ , $\frac{2 \sqrt{a } }{\sqrt[4 ]{27 a b ^{2 } c ^{5 } } }$
$\frac{5x }{\sqrt[3 ]{x \sqrt{5 } } }$ , $\frac{2 \sqrt{2 } }{\sqrt[5 ]{16 a ^{2 } b ^{3 } c ^{4 } } }$ , $\frac{\sqrt[3 ]{x ^{2 } y } + \sqrt[3 ]{x y ^{2 } } }{\sqrt[3 ]{x y } }$ , $\frac{3 - a \sqrt[3 ]{9 } }{\sqrt[3 ]{9 a } }$
$\frac{1 - \sqrt[3 ]{a } }{\sqrt[3 ]{4 a ^{2 } x } }$ , $\frac{1 }{\sqrt{3 } + \sqrt{2 } }$ , $\frac{1 }{\sqrt{2 } - \sqrt{3 } }$ , $\frac{2 }{\sqrt{3 } + \sqrt{5 } }$
$\frac{2 \sqrt{2 } }{\sqrt{5 } + \sqrt{7 } }$ , $\frac{3 }{\sqrt{2 } + 1 }$ , $\frac{2 }{\sqrt{2 } - 1 }$ , $\frac{\sqrt{3 } + 1 }{\sqrt{3 } - 1 }$
$\frac{2 + \sqrt{3 } }{\sqrt{3 } + \sqrt{2 } }$ R $.3 - 2 \sqrt{2 } + 2 \sqrt{3 } - \sqrt{6 }$ , $\frac{3 }{2 + 3 \sqrt{3 } }$ , $\frac{x }{\sqrt{x } + 1 }$ , $\frac{1 }{\sqrt{x } + \sqrt{y } }$
$\frac{\sqrt{x } }{\sqrt{x } - \sqrt{y } }$ , $\frac{a + b }{\sqrt{a } + \sqrt{a b } }$ , $\frac{x }{\sqrt{y } - \sqrt{x + y } }$ , $\frac{\sqrt{2 } - 1 }{\sqrt{3 - \sqrt{3 } } }$
$\frac{1 }{\sqrt{\sqrt{2 } } + 1 }$ , $\frac{7 }{\sqrt{7 + 2 \sqrt{6 } } }$ , $\frac{a - 2 }{\sqrt{a } - 2 }$ , $\frac{a - x }{\sqrt{a } - 2 \sqrt{x } }$
$\frac{x + 1 }{\sqrt{x ( x + 1 ) } }$ , $\frac{4 }{\sqrt{5 } + \sqrt{3 } - \sqrt{2 } }$ , $\frac{- 3 }{\sqrt{2 } - \sqrt{3 } + 1 }$ , $\frac{2 }{2 \sqrt{3 } - 3 \sqrt{2 } + 2 }$
$\frac{( a + b ) ^{2 } }{\sqrt{a } + \sqrt{b } - \sqrt{a b } }$ , $\frac{3 }{\sqrt[3 ]{2 } + \sqrt[3 ]{9 } }$ , $\frac{6 }{\sqrt[3 ]{3 } - \sqrt[3 ]{5 } }$ , $\frac{\sqrt{6 } }{\sqrt[3 ]{4 } + \sqrt[3 ]{9 } }$
$\frac{\sqrt{2 } }{2 \sqrt[3 ]{2 } - 3 \sqrt[3 ]{3 } }$ , $\frac{\sqrt{2 } + 1 }{\sqrt[3 ]{2 } - 1 }$ , $\frac{3 }{\sqrt[3 ]{4 } - \sqrt[3 ]{2 } }$ , $\frac{a - 4 b ^{2 } }{\sqrt{a } - 2 b }$
$\frac{2 }{\sqrt[3 ]{2 } - 1 }$ , $\frac{\sqrt{a } }{\sqrt{a } + 1 }$ , $\frac{a - b }{\sqrt{a } + \sqrt{b } }$ , $\frac{1 }{\sqrt{a } - \sqrt{b } } + \frac{3 \sqrt{a } - \sqrt{b } }{a - b }$
$\frac{\sqrt{5 } }{\sqrt{5 } + \sqrt{2 } + \sqrt{3 } }$ , $\frac{1 - \sqrt{2 } }{1 + \sqrt{2 } - \sqrt{3 } }$ , $\frac{\sqrt{2 } + \sqrt{3 } + \sqrt{5 } }{\sqrt{5 } - \sqrt{2 } + \sqrt{3 } }$ , $\frac{a + 2 \sqrt{ab } + b }{\sqrt{a } + \sqrt{b } }$

Radicali doppi¶

Verificate che $a ^{2 } - b$ sia un quadrato perfetto prima di applicare la formula di trasformazione
$\sqrt{12 - \sqrt{23 } }$ , $\sqrt{12 + 2 \sqrt{5 } }$ , $\sqrt{15 + \sqrt{29 } }$ , $\sqrt{3 + \sqrt{5 } }$ R. $\frac{\sqrt{10 } }{2 } + \frac{\sqrt{2 } }{2 }$
$\sqrt{3 - \sqrt{8 } }$ , $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3 } }$ , $\sqrt{4 - \sqrt{7 } }$ , $\sqrt{5 + \sqrt{21 } }$
$\sqrt{6 + 4 \sqrt{2 } }$ , $\sqrt{6 - 3 \sqrt{3 } }$ , $\sqrt{6 + 2 \sqrt{5 } }$ , $\sqrt{6 - \sqrt{11 } }$
$\sqrt{7 + 3 \sqrt{5 } }$ , $\sqrt{7 + 2 \sqrt{10 } }$ , $\sqrt{7 - \sqrt{33 } }$ , $\sqrt{7 + 2 \sqrt{6 } }$ R. $\sqrt{6 } + 1$
$\sqrt{7 - \sqrt{13 } }$ , $\sqrt{8 + 2 \sqrt{15 } }$ , $\sqrt{8 - \sqrt{55 } }$ , $\sqrt{8 + 4 \sqrt{3 } }$
$\sqrt{8 - \sqrt{39 } }$ , $\sqrt{8 - 4 \sqrt{7 } }$ , $\sqrt{8 + \sqrt{15 } }$ , $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6 } }$
$\sqrt{\frac{15 }{2 } - \sqrt{\frac{86 }{9 } } }$ , $\sqrt{\frac{5 }{2 } - \sqrt{6 } }$ , $\sqrt{\frac{8 }{5 } - \sqrt{\frac{7 }{4 } } }$ , $\sqrt{10 + \sqrt{19 } }$

Equazioni, disequazioni e sistemi a coefficienti irrazionali¶

Risolvi le seguenti equazioni a coefficienti irrazionali

$\sqrt{2 } x = 2$ , $\sqrt{2 } x = \sqrt{12 }$ , $2 x = \sqrt{6 }$ , $\sqrt{2 } x = \sqrt{6 } + \sqrt{14 }$
$x - \sqrt{3 } = 2 \left( x - \sqrt{3 } \right)$ R. $\sqrt{3 }$ , $2 \sqrt{3 } x - \sqrt{2 } = \sqrt{2 }$ R. $\frac{\sqrt{6 } }{3 }$
$2 x + \sqrt{5 } = \sqrt{5 } x + 2$ R. 1, $\left( 1 + \sqrt{2 } \right) x = \sqrt{2 } \left( 1 - \sqrt{2 } \right)$ R. $4 - 3 \sqrt{2 }$
$\frac{1 - x }{\sqrt{2 } } - \frac{x }{\sqrt{8 } } = x - \sqrt{2 }$ R. $18 - 12 \sqrt{2 }$ , $2 x - \left( x + \sqrt{3 } \right) \sqrt{2 } = 2 x + 3 \sqrt{5 }$ R. $- \frac{2 \sqrt{3 } + 3 \sqrt{10 } }{2 }$
$\frac{x + 1 }{\sqrt{2 } } + \frac{x + \sqrt{2 } }{\sqrt{2 } } = \frac{x - 1 }{2 }$ R. $- ( 1 + \sqrt{2 } )$
$\frac{x + \sqrt{2 } }{x - \sqrt{2 } } + \frac{x - \sqrt{2 } }{x + \sqrt{2 } } = 2$ impossibile
$\left( x + \sqrt{2 } \right) ^{2 } - \left( x + \sqrt{3 } \right) ^{2 } = 6$ R. $\frac{- 7 ( \sqrt{2 } + \sqrt{3 } ) }{2 }$
$\frac{x - \sqrt{3 } }{2 } - \frac{\sqrt{2 } - 3 x }{4 } = 2 x$ R. $- \frac{\sqrt{2 } + 2 \sqrt{3 } }{3 }$
$2 ( x - 1 ) ^{2 } - \sqrt{2 } x = 1 + 2 x ( x - 2 )$ R. $\frac{\sqrt{2 } }{2 }$
$\frac{\sqrt{3 } }{3 x - 6 } - \frac{1 }{20 - 10 x } = \sqrt{3 } + 2$ R. $\frac{36 + 17 \sqrt{3 } }{30 }$
$\frac{3 x - 2 }{\sqrt{8 } x - \sqrt{32 } } + \frac{5 x }{4 \sqrt{3 } x - 8 \sqrt{3 } } = 0$ R. $\frac{36 - 10 \sqrt{6 } }{29 }$

Risolvi le seguenti disequazioni a coefficienti irrazionali

$4 x + \sqrt{2 } < 2 x - \sqrt{2 }$ R. $x < - \sqrt{2 }$
$\left( \sqrt{3 } + 1 \right) - \left( \sqrt{3 } + \sqrt{2 } x \right) < 3 \sqrt{2 }$ R. $x > \frac{\sqrt{2 } - 6 }{2 }$
$x \sqrt{2 } + \sqrt{5 } > \sqrt{10 }$ R. $x > \frac{\sqrt{10 } ( \sqrt{2 } - 1 ) }{2 }$
$3 \left( x - \sqrt{3 } \right) < 2 \left( x + \sqrt{3 } \right) - \sqrt{6 }$ R. $x < 5 \sqrt{3 } - \sqrt{6 }$
$\frac{x - \sqrt{2 } }{2 } \leq \frac{2 x - \sqrt{3 } }{\sqrt{2 } }$ R. $x \geq \frac{4 \sqrt{3 } - 4 + \sqrt{6 } - \sqrt{2 } }{7 }$
$\{ \begin{array}{l } \sqrt{2 } x \geq 2 \\\left( 3 - \sqrt{2 } \right) x < \sqrt{2 } \end{array}$ impossibile
$\{ \begin{array}{l } 2 \left( x - \sqrt{2 } \right) > 3 x - \sqrt{3 } \\\left( x - \sqrt{2 } \right) ^{2 } > \left( x - \sqrt{3 } \right) ^{2 } - \sqrt{3 } \end{array}$ R. $\frac{\sqrt{3 } - 3 + \sqrt{2 } - \sqrt{6 } }{2 } < x < \sqrt{3 } - 2 \sqrt{2 }$

Risolvi i seguenti sistemi a coefficienti irrazionali

$\{ \begin{array}{l } \sqrt{2 } x + \sqrt{3 } y = 5 \\\sqrt{3 } x + \sqrt{2 } y = 2 \sqrt{6 } \end{array}$ R. $\left( \sqrt{2 } ; \sqrt{3 } \right)$ , $\{ \begin{array}{l } x - \sqrt{3 } = 2 - y \\x + 2 = y + \sqrt{3 } \end{array}$ R. $\left( \sqrt{3 } ; 2 \right)$
$\{ \begin{array}{l } x + 2 y = \sqrt{2 } - 1 \\2 x - 2 y = 2 \sqrt{2 } \end{array}$ R. $\left( \sqrt{2 } + \frac{1 }{3 } ; - \frac{1 }{3 } \right)$ , $\{ \begin{array}{l } \frac{2 \left( x + \sqrt{3 } \right) }{\sqrt{2 } + 2 \sqrt{3 } } = \frac{y }{\sqrt{2 } } \\\frac{2 x - y }{2 \sqrt{6 } } = \frac{\sqrt{2 } }{2 } \end{array}$ R. $\left( \sqrt{2 } + \sqrt{3 } ; 2 \sqrt{2 } \right)$
$\{ \begin{array}{l } x + \sqrt{3 } y = 2 \\\sqrt{3 } x - 4 y = 1 \end{array}$ R. $\left( \frac{\sqrt{3 } + 8 }{7 } ; \frac{2 \sqrt{3 } - 1 }{7 } \right)$ , $\{ \begin{array}{l } \sqrt{2 } x - y = 1 \\2 x + \sqrt{2 } y = 0 \end{array}$ R. $\left( \frac{\sqrt{2 } }{4 } ; - \frac{1 }{2 } \right)$
$\{ \begin{array}{l } 4 x - 2 \sqrt{5 } y = \sqrt{2 } \\\sqrt{2 } x + y = - 2 \end{array}$ R. $\left( \frac{5 \sqrt{5 } - 11 \sqrt{2 } }{6 } ; \frac{10 - 5 \sqrt{10 } }{6 } \right)$
$\{ \begin{array}{l } \sqrt{3 } x + 4 \sqrt{2 } y = 4 \\\sqrt{12 } x + 8 \sqrt{2 } y = 8 \end{array}$ indeterminato
$\{ \begin{array}{l } 2 x + 3 \sqrt{2 } y = 2 \\\sqrt{3 } x - y = - \sqrt{8 } \end{array}$ R. $\left( \frac{2 - 3 \sqrt{6 } }{5 } ; \frac{\sqrt{2 } + 2 \sqrt{3 } }{5 } \right)$
$\{ \begin{array}{l } x + y = 3 \sqrt{5 } \\\sqrt{8 } x + 2 \sqrt{2 } y = - 5 \sqrt{11 } \end{array}$ impossibile
$\{ \begin{array}{l } x - 3 \sqrt{3 } y = \sqrt{27 } \\- \sqrt{3 } x + \sqrt{243 } y = 0 \end{array}$ R. $\left( \frac{9 + 9 \sqrt{3 } }{2 } ; \frac{1 + \sqrt{3 } }{2 } \right)$
$\{ \begin{array}{l } \sqrt{2 } x + 2 y = 4 \\2 x + \sqrt{32 } y = - 1 \end{array}$ R. $\left( \frac{1 }{2 } + 4 \sqrt{2 } ; - 2 - \frac{\sqrt{2 } }{4 } \right)$
$\left \{ \begin{array}{l } x - y \sqrt{3 } = 2 \\x \sqrt{3 } - y = 1 \end{array}\right .$ R. $\left( \frac{\sqrt{3 } }{2 } - 1 ; \frac{1 }{2 } - \sqrt{3 } \right)$
$\left \{ \begin{array}{l } x - 2 y \sqrt{2 } = \sqrt{2 } \\x \sqrt{2 } + y = \sqrt{2 } \end{array}\right .$ R. $\left( \frac{\sqrt{2 } + 4 }{5 } ; \frac{\sqrt{2 } - 2 }{5 } \right)$
$\left \{ \begin{array}{l } x \sqrt{2 } + y = 1 \\x + y \sqrt{2 } = 0 \end{array}\right .$ R. $\left( \sqrt{2 } ; - 1 \right)$
$\left \{ \begin{array}{l } 2 x + 3 y \sqrt{2 } = 0 \\x + y = \sqrt{8 } \end{array}\right .$ R. $\left( - \frac{4 \sqrt{2 } + 12 }{7 } ; \frac{18 \sqrt{2 } + 12 }{7 } \right)$
$\left \{ \begin{array}{l } x \sqrt{3 } + 4 y \sqrt{2 } = 4 \\x \sqrt{12 } + 8 y \sqrt{2 } = - 4 \end{array}\right .$ R. impossibile
$\left \{ \begin{array}{l } x - 3 y \sqrt{3 } = 0 \\- x \sqrt{3 } + 9 y = 0 \end{array}\right .$ R. indeterminato
$\left \{ \begin{array}{l } x + y = 3 \sqrt{5 } \\2 x - y = \sqrt{5 } \end{array}\right .$ R. $\left( \frac{4 \sqrt{5 } }{3 } ; \frac{5 \sqrt{5 } }{3 } \right)$
$\left \{ \begin{array}{l } x \sqrt{2 } - 2 y = - 1 \\x \sqrt{8 } - y = 0 \end{array}\right .$ R. $\left( \frac{\sqrt{2 } }{6 } ; \frac{2 }{3 } \right)$

Esercizi di riepilogo¶

Per ciascuna delle seguenti affermazioni indica se è Vera o Falsa.

È dato un quadrato di lato .
1. Il suo perimetro è un numero irrazionale $V F$
2. La sua area è un numero irrazionale $V F$
È dato un rettangolo di base e altezza 14.
1. Il suo perimetro è un numero irrazionale $V F$
2. La sua area è un numero razionale $V F$
3. Il perimetro non esiste perché non si sommano numeri razionali con numeri irrazionali $V F$
4. La misura del perimetro è un numero sia razionale che irrazionale $V F$
Un triangolo rettangolo ha i cateti lunghi rispettivamente cm e cm.
1. L’ipotenusa ha come misura un numero razionale $V F$
2. Il perimetro è un numero irrazionale $V F$
3. L’area è un numero irrazionale $V F$
È dato un quadrato di lato
1. La misura della diagonale è un numero irrazionale $V F$
2. L’area è un numero irrazionale $V F$
È dato un rettangolo di base e altezza .
1. Il perimetro è un numero irrazionale $V F$
2. L’area è un numero irrazionale $V F$
3. La misura della diagonale è un numero irrazionale $V F$
4. Il quadrato della misura del perimetro è un numero irrazionale $V F$
Un triangolo rettangolo ha un cateto lungo 7cm. Determina, se esiste, una possibile misura dell’altro cateto in modo che questa sia un numero irrazionale e che l’ipotenusa sia, invece, un numero razionale.
Perché l’uguaglianza $\sqrt{( - 5 ) ^{2 } } = - 5$ è falsa?
Determina il valore di verità delle seguenti affermazioni
1. La radice terza del triplo di $a$ è uguale ad $a$ . $V F$
2. Dati due numeri reali positivi, il quoziente delle loro radici quadrate è uguale alla radice quadrata del quoziente. $V F$
3. Il doppio della radice quadrata di a è uguale alla radice quadrata del quadruplo di a. $V F$
4. Dati due numeri reali positivi, la somma delle loro radici cubiche è uguale alla radice cubica della loro somma. $V F$
5. La radice cubica di 2 è la metà della radice cubica di 8. $V F$
6. Dati un numero reale positivo, la radice quadrata della sua radice cubica è uguale alla radice cubica della sua radice quadrata. $V F$
7. Sommando due radicali letterali simili si ottiene un radicale che ha la stessa parte letterale dei radicali dati. $V F$
Riscrivi in ordine crescente i radicali $\sqrt{5 }$ ; $4 \sqrt{2 }$ ; $2 \sqrt{3 }$
Verifica che il numero irrazionale $\sqrt{7 - 2 \sqrt{6 } }$ appartiene all’intervallo $( 1 ; 2 )$ e rappresentalo sull’asse dei numeri reali.
Sono assegnati i numeri e , quali affermazioni sono vere?
1. sono entrambi irrazionali;
2. solo $\alpha$ è irrazionale;
3. $\alpha$ è minore di $\beta$ ;
4. $\alpha$ è maggiore di $\beta$ ;
5. $\beta$ è irrazionale negativo
Le misure rispetto al cm dei lati di un rettangolo sono i numeri reali $l _{1 } = \sqrt[3 ]{1 - \frac{1 }{8 } } \cdot \sqrt[3 ]{1 - \frac{2 }{7 } } \cdot \sqrt[3 ]{25 }$ e $l _{2 } = \sqrt{\sqrt{2 } } \cdot \sqrt[4 ]{3 } \cdot ( \sqrt[8 ]{6 } ) ^{3 } \div \sqrt[4 ]{\sqrt{6 } }$ . Determinare la misura del perimetro e della diagonale del reattangolo.
Se x è positivo e diverso da 1, l’espressione è uguale a:
1. $\sqrt[4 ]{\frac{1 }{x } }$
2. $\sqrt[8 ]{\frac{1 }{x } }$
3. $\frac{1 }{x }$
4. $\sqrt[8 ]{x }$
5. $0$
Stabilire se la seguente affermazione è vera o falsa. Per tutte le coppie (a,b) di numeri reali positivi con $a = 3b$ , l’espressione $E = \frac{\sqrt{a } + \sqrt{b } }{\sqrt{a } - \sqrt{b } } + \frac{\sqrt{a } - \sqrt{b } }{\sqrt{a } + \sqrt{b } } - \frac{a + b }{a - b }$ ha il numeratore doppio del denominatore.
Calcola il valore delle seguenti espressioni letterali per i valori indicati delle lettere
1. $x + 2 \sqrt{3 }$ per $x = \sqrt{3 }$
2. $\sqrt{2 } x + 3 \sqrt{6 }$ per $x = \sqrt{3 }$
3. $x ^{2 } + x - 1$ per $x = \sqrt{2 }$
4. $x ^{2 } + \sqrt{5 } x - 1$ per $x = \sqrt{5 }$
5. $( x + 2 \sqrt{2 } ) ^{2 }$ per $x = \sqrt{2 }$
Trasforma in un radicale di indice 9 il seguente radicale $\sqrt[3 ]{\frac{\sqrt{\frac{a }{b } - \frac{b }{a } } }{\sqrt{\frac{a }{b } + \frac{b }{a } + 2 } } \div \sqrt{\frac{a + b }{a - b } } + 1 }$

Risolvi le equazioni

$\frac{x \sqrt{2 } - \sqrt{3 } }{\sqrt{2 } + \sqrt{3 } } + \frac{x \sqrt{2 } + \sqrt{3 } }{\sqrt{3 } - \sqrt{2 } } = \frac{3x + 3 }{\sqrt{3 } }$ $R. [ - 1 ]$
$\frac{\sqrt{3 } + x }{x - \sqrt{3 } } + \frac{x + \sqrt{2 } }{x - \sqrt{2 } } = 2$ $R. [ 2 \cdot ( 3 \sqrt{2 } - 2 \sqrt{3 } ) ]$
Per quale valore di k il sistema lineare è determinato? $\{ \begin{array}{l } x \sqrt{3 } + ( k - \sqrt{3 } ) y = 1 \\- 2x + y \sqrt{6 } = - k \end{array}$
L’insieme di soluzioni della disequazione è:
1. $x \geq 0$
2. $x \leq 0$
3. $x > 0$
4. $x < 0$
5. sempre verificata.
Stabilire se esistono valori di a che rendono positiva l’espressione: $E = \frac{2a - 2 \sqrt{2 } }{\sqrt{2 } } + \frac{( a + 2 ) \cdot \sqrt{2 } }{2 } + \frac{4 }{\sqrt{2 } } - 1$
Data la funzione
1. Determina il suo dominio,
2. Riscrivi la funzione razionalizzando il denominatore,
3. Calcola f(2),
4. Per quali valori di x si ha f(x)>0?
5. Risolvi l’equazione f(x)=0izzando il denominatore,
6. Calcola f(2),